与えられた関数について、その導関数を求める問題です。問題は(1)から(8)まであります。

はい、承知いたしました。それでは、問題集の6番の微分問題について、それぞれ解説していきます。

1. 問題の内容

与えられた関数について、その導関数を求める問題です。問題は(1)から(8)まであります。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1} \frac{x}{4}$

$\sin^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ です。合成関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{4})^2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4\sqrt{1 - \frac{x^2}{16}}} = \frac{1}{4\sqrt{\frac{16-x^2}{16}}} = \frac{1}{4\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$

(2) $y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{\sqrt{2}})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{1 - \frac{x^2}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{\frac{2-x^2}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2} \frac{\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}$

(3) $y = \tan^{-1} \frac{x-1}{2}$

$\tan^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ です。合成関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\frac{x-1}{2})^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2(1 + \frac{(x-1)^2}{4})} = \frac{1}{2(\frac{4 + (x-1)^2}{4})} = \frac{2}{4 + (x-1)^2} = \frac{2}{4 + x^2 - 2x + 1} = \frac{2}{x^2 - 2x + 5}$

(4) $y = \sin(5-7x) \sin^{-1} \frac{x}{3}$

積の微分法を利用します。

$(uv)' = u'v + uv'$

$u = \sin(5-7x), v = \sin^{-1} \frac{x}{3}$

$u' = \cos(5-7x) \cdot (-7) = -7\cos(5-7x)$

$v' = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}} = \frac{1}{3\sqrt{\frac{9-x^2}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = -7\cos(5-7x) \sin^{-1} \frac{x}{3} + \sin(5-7x) \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

(5) $y = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}} \sin^{-1} (x-1)$

$u = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}, v = \sin^{-1} (x-1)$

$u' = \frac{1}{1 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}(1 + \frac{x^2}{3})} = \frac{1}{\sqrt{3}(\frac{3+x^2}{3})} = \frac{\sqrt{3}}{3+x^2}$

$v' = \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2-2x+1)}} = \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{3+x^2} \sin^{-1}(x-1) + \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}$

(6) $y = \tan^{-1} 3x \tan^{-1} \frac{x-1}{2}$

$u = \tan^{-1} 3x, v = \tan^{-1} \frac{x-1}{2}$

$u' = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$

$v' = \frac{1}{1+(\frac{x-1}{2})^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4+(x-1)^2} = \frac{2}{x^2-2x+5}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1+9x^2} \tan^{-1} \frac{x-1}{2} + \tan^{-1} 3x \frac{2}{x^2-2x+5}$

(7) $y = \frac{1}{\sin^{-1} 2x} = (\sin^{-1} 2x)^{-1}$

$(\sin^{-1} 2x)$ の微分は $\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$ です。合成関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = -1(\sin^{-1} 2x)^{-2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} = -\frac{2}{(\sin^{-1} 2x)^2 \sqrt{1-4x^2}}$

(8) $y = \frac{1}{1+\tan^{-1} x} = (1+\tan^{-1} x)^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = -(1+\tan^{-1} x)^{-2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = -\frac{1}{(1+\tan^{-1} x)^2 (1+x^2)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^2 - 2x + 5}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -7\cos(5-7x) \sin^{-1} \frac{x}{3} + \sin(5-7x) \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{3+x^2} \sin^{-1}(x-1) + \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1+9x^2} \tan^{-1} \frac{x-1}{2} + \tan^{-1} 3x \frac{2}{x^2-2x+5}$

(7) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{(\sin^{-1} 2x)^2 \sqrt{1-4x^2}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+\tan^{-1} x)^2 (1+x^2)}$