与えられた2つの関数について、凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。 (1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$ (2) $y = e^{-2x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。

(1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$

(2) $y = e^{-2x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$ について

まず、定義域を確認します。$x \neq 0$です。

次に、一階微分を計算します。

$y' = 2x - \frac{1}{2x^2}$

さらに、二階微分を計算します。

$y'' = 2 + \frac{1}{x^3}$

凹凸を調べるために、$y'' = 0$となる$x$を求めます。

$2 + \frac{1}{x^3} = 0$

$\frac{1}{x^3} = -2$

$x^3 = -\frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

$y''$の符号を調べます。

$x < -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき、$y'' < 0$ なので上に凸。

$-\frac{1}{\sqrt[3]{2}} < x < 0$ のとき、$y'' > 0$ なので下に凸。

$x > 0$ のとき、$y'' > 0$ なので下に凸。

変曲点は、$x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$のときです。

$y = (-\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2 + \frac{1}{2(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}})} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = 0$

(2) $y = e^{-2x}$ について

一階微分を計算します。

$y' = -2e^{-2x}$

二階微分を計算します。

$y'' = 4e^{-2x}$

$e^{-2x}$は常に正なので、$y'' > 0$ です。

したがって、常に下に凸であり、変曲点はありません。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$

凹凸：

$x < -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき、上に凸

$-\frac{1}{\sqrt[3]{2}} < x < 0$ のとき、下に凸

$x > 0$ のとき、下に凸

変曲点：$(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, 0)$

(2) $y = e^{-2x}$

凹凸：常に下に凸

変曲点：なし