次の5つの関数の不定積分を求めます。 (1) $x^2 e^{x^3}$ (2) $\sin{2x}\cos{4x}$ (3) $\frac{x^3}{x^2+4}$ (4) $\frac{e^x}{1+e^x}$ (5) $\frac{\sin{x}}{2+\cos{x}}$

1. 問題の内容

次の5つの関数の不定積分を求めます。

(1) $x^2 e^{x^3}$

(2) $\sin{2x}\cos{4x}$

(3) $\frac{x^3}{x^2+4}$

(4) $\frac{e^x}{1+e^x}$

(5) $\frac{\sin{x}}{2+\cos{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 e^{x^3}$ の不定積分

$u = x^3$ と置換すると $du = 3x^2 dx$ より $x^2 dx = \frac{1}{3} du$

$\int x^2 e^{x^3} dx = \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C$

(2) $\sin{2x}\cos{4x}$ の不定積分

三角関数の積和の公式 $\sin{A}\cos{B} = \frac{1}{2}(\sin{(A+B)} + \sin{(A-B)})$ を用いると、

$\sin{2x}\cos{4x} = \frac{1}{2}(\sin{(2x+4x)} + \sin{(2x-4x)}) = \frac{1}{2}(\sin{6x} + \sin{(-2x)}) = \frac{1}{2}(\sin{6x} - \sin{2x})$

$\int \sin{2x}\cos{4x} dx = \int \frac{1}{2}(\sin{6x} - \sin{2x}) dx = \frac{1}{2} \int (\sin{6x} - \sin{2x}) dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}\cos{6x} + \frac{1}{2}\cos{2x}) + C = -\frac{1}{12}\cos{6x} + \frac{1}{4}\cos{2x} + C$

(3) $\frac{x^3}{x^2+4}$ の不定積分

$\frac{x^3}{x^2+4} = \frac{x^3+4x-4x}{x^2+4} = \frac{x(x^2+4)-4x}{x^2+4} = x - \frac{4x}{x^2+4}$

$\int \frac{x^3}{x^2+4} dx = \int (x - \frac{4x}{x^2+4}) dx = \int x dx - \int \frac{4x}{x^2+4} dx$

$u = x^2 + 4$ と置換すると $du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$

$\int \frac{4x}{x^2+4} dx = \int \frac{4}{u} \frac{1}{2} du = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln{|u|} + C = 2 \ln{(x^2+4)} + C$

$\int \frac{x^3}{x^2+4} dx = \int x dx - \int \frac{4x}{x^2+4} dx = \frac{1}{2}x^2 - 2\ln{(x^2+4)} + C$

(4) $\frac{e^x}{1+e^x}$ の不定積分

$u = 1+e^x$ と置換すると $du = e^x dx$

$\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln{|u|} + C = \ln{(1+e^x)} + C$

(5) $\frac{\sin{x}}{2+\cos{x}}$ の不定積分

$u = 2 + \cos{x}$ と置換すると $du = -\sin{x} dx$ より $\sin{x} dx = -du$

$\int \frac{\sin{x}}{2+\cos{x}} dx = \int \frac{1}{u} (-du) = -\int \frac{1}{u} du = -\ln{|u|} + C = -\ln{|2+\cos{x}|} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3} e^{x^3} + C$

(2) $-\frac{1}{12}\cos{6x} + \frac{1}{4}\cos{2x} + C$

(3) $\frac{1}{2}x^2 - 2\ln{(x^2+4)} + C$

(4) $\ln{(1+e^x)} + C$

(5) $-\ln{|2+\cos{x}|} + C$