与えられた関数 $y = -x^3 + 6x + 1$ について、特に指示がないため、関数の特徴（極値、増減など）を調べる一般的な問題を解くことにします。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -x^3 + 6x + 1$ について、特に指示がないため、関数の特徴（極値、増減など）を調べる一般的な問題を解くことにします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 6$

次に、導関数が0となる点を求めます。これは極値の候補となる点です。

$-3x^2 + 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

したがって、$x = \sqrt{2}$ と $x = -\sqrt{2}$ が極値の候補です。

次に、これらの点の前後で導関数の符号がどう変化するかを調べます。

$x < -\sqrt{2}$ のとき、$y' = -3x^2 + 6 < 0$ (例えば、$x = -2$ のとき、$y' = -3(4) + 6 = -6 < 0$)

$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ のとき、$y' = -3x^2 + 6 > 0$ (例えば、$x = 0$ のとき、$y' = 6 > 0$)

$x > \sqrt{2}$ のとき、$y' = -3x^2 + 6 < 0$ (例えば、$x = 2$ のとき、$y' = -3(4) + 6 = -6 < 0$)

したがって、$x = -\sqrt{2}$ で極小値をとり、$x = \sqrt{2}$ で極大値をとります。

極小値は、$x = -\sqrt{2}$ を元の関数に代入して求めます。

$y(-\sqrt{2}) = -(-\sqrt{2})^3 + 6(-\sqrt{2}) + 1 = -(-2\sqrt{2}) - 6\sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 1 = -4\sqrt{2} + 1$

極大値は、$x = \sqrt{2}$ を元の関数に代入して求めます。

$y(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^3 + 6(\sqrt{2}) + 1 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 1 = 4\sqrt{2} + 1$

3. 最終的な答え

極大値: $4\sqrt{2} + 1$ (at $x = \sqrt{2}$)

極小値: $-4\sqrt{2} + 1$ (at $x = -\sqrt{2}$)