与えられた関数のグラフを指定された範囲で描き、そのグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求める。問題には3つの関数とその定義域が与えられています。 (1) $y = 2x^2 + 6x + 9$ ($0 \le x \le 2$) (2) $y = -x^3 + 6x + 1$ ($1 \le x \le 2$) (3) $y = x^3 - 3x$ ($0 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

与えられた関数のグラフを指定された範囲で描き、そのグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求める。問題には3つの関数とその定義域が与えられています。

(1) $y = 2x^2 + 6x + 9$ ($0 \le x \le 2$)

(2) $y = -x^3 + 6x + 1$ ($1 \le x \le 2$)

(3) $y = x^3 - 3x$ ($0 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

各関数について、指定された範囲での定積分を計算することで、グラフとx軸で囲まれた部分の面積を求める。

(1) $y = 2x^2 + 6x + 9$ ($0 \le x \le 2$)

$S = \int_{0}^{2} (2x^2 + 6x + 9) dx$

$S = [\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 9x]_{0}^{2}$

$S = (\frac{2}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 9(2)) - (\frac{2}{3}(0)^3 + 3(0)^2 + 9(0))$

$S = \frac{16}{3} + 12 + 18 = \frac{16}{3} + 30 = \frac{16 + 90}{3} = \frac{106}{3}$

(2) $y = -x^3 + 6x + 1$ ($1 \le x \le 2$)

$S = \int_{1}^{2} (-x^3 + 6x + 1) dx$

$S = [-\frac{1}{4}x^4 + 3x^2 + x]_{1}^{2}$

$S = (-\frac{1}{4}(2)^4 + 3(2)^2 + 2) - (-\frac{1}{4}(1)^4 + 3(1)^2 + 1)$

$S = (-\frac{16}{4} + 12 + 2) - (-\frac{1}{4} + 3 + 1)$

$S = (-4 + 14) - (-\frac{1}{4} + 4)$

$S = 10 - \frac{15}{4} = \frac{40 - 15}{4} = \frac{25}{4}$

(3) $y = x^3 - 3x$ ($0 \le x \le 1$)

まず、$x^3-3x=0$ となるxを求めます。

$x(x^2-3)=0$ なので $x = 0, \pm \sqrt{3}$ となります。

区間 $[0,1]$ で考えると、$x^3 - 3x$ は負の値を取ることがわかります。

$x = 1$ のとき $y = 1 - 3 = -2$

したがって、面積を求めるには絶対値を取る必要があります。

$S = \left| \int_{0}^{1} (x^3 - 3x) dx \right|$

$S = \left| [\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2]_{0}^{1} \right|$

$S = \left| (\frac{1}{4}(1)^4 - \frac{3}{2}(1)^2) - (\frac{1}{4}(0)^4 - \frac{3}{2}(0)^2) \right|$

$S = \left| \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{1 - 6}{4} \right| = \left| -\frac{5}{4} \right| = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{106}{3}$

(2) $\frac{25}{4}$

(3) $\frac{5}{4}$