問題は、数列の和 $S$ を求めるものです。数列は $1 \cdot 1, 2 \cdot 2, 3 \cdot 2^2, 4 \cdot 2^3, ..., n \cdot 2^{n-1}$ で与えられています。つまり、$S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

問題は、数列の和 $S$ を求めるものです。数列は $1 \cdot 1, 2 \cdot 2, 3 \cdot 2^2, 4 \cdot 2^3, ..., n \cdot 2^{n-1}$ で与えられています。つまり、$S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + ... + n \cdot 2^{n-1}$ と書きます。

次に、$2S$ を計算します。

$2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^{n}$

次に、$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + ... + n \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^{n})$

$-S = 1 + (2-1) \cdot 2 + (3-2) \cdot 2^2 + (4-3) \cdot 2^3 + ... + (n - (n-1)) \cdot 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

ここで、$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{n-1}$ は等比数列の和です。

その和は $\frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$ となります。

したがって、

$-S = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$-S = (1-n)2^n - 1$

$S = (n-1)2^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)2^n + 1$