与えられた微分方程式 $y \frac{dy}{dx} = 2x$ は、一般解 $y^2 = 2x^2 + C$ を持つ。このとき、与えられた選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。特殊解とは、一般解の定数 $C$ に特定の値を入れることで得られる解のことである。

解析学微分方程式一般解特殊解

2025/7/1

1. 問題の内容

与えられた微分方程式

y \frac{dy}{dx} = 2x

は、一般解

y^2 = 2x^2 + C

を持つ。このとき、与えられた選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。特殊解とは、一般解の定数

C

に特定の値を入れることで得られる解のことである。

2. 解き方の手順

各選択肢について、一般解

y^2 = 2x^2 + C

の形に変形できるかどうかを確認する。

y^2 = x^2

x^2 = 2x^2 + C

より

C = -x^2

となる。

C

が定数ではないため、特殊解ではない。

y^2 = 2x^2

2x^2 = 2x^2 + C

より

C = 0

となる。

C

が定数であるため、特殊解である。

y^2 = 2x^2 + 1

2x^2 + 1 = 2x^2 + C

より

C = 1

となる。

C

が定数であるため、特殊解である。

y^2 = 2x^2 - \sqrt{3}

2x^2 - \sqrt{3} = 2x^2 + C

より

C = -\sqrt{3}

となる。

C

が定数であるため、特殊解である。

y^2 = 2x^2 + x

2x^2 + x = 2x^2 + C

より

C = x

となる。

C

が定数ではないため、特殊解ではない。

y^2 = 2x^2 + \sin x

2x^2 + \sin x = 2x^2 + C

より

C = \sin x

となる。

C

が定数ではないため、特殊解ではない。

3. 最終的な答え

特殊解となるものは、以下の3つである。

y^2 = 2x^2

y^2 = 2x^2 + 1

y^2 = 2x^2 - \sqrt{3}

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