微分方程式 $x \frac{dy}{dx} = x+y$ の一般解が $y = x(\log |x| + C)$ で与えられているとき、選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ問題です。

1. 問題の内容

微分方程式 $x \frac{dy}{dx} = x+y$ の一般解が $y = x(\log |x| + C)$ で与えられているとき、選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

一般解 $y = x(\log |x| + C)$ に適切な定数 $C$ を代入して、選択肢の形になるかどうかを確認します。

* $y = x \log |x|$ : $C=0$ を代入すると得られます。

* $y = x$ : $x(\log|x| + C) = x$ から $\log|x| + C = 1$ となり、$C = 1 - \log|x|$ となります。これは定数ではないので、特殊解にはなりません。

* $y = \log |x|$ : $x(\log |x| + C) = \log |x|$ となり、$x = \frac{\log |x|}{\log |x|+C}$となり、$C$を定数として、$y = \log |x|$は得られません。

* $y = x \log |x| + 2$ : $x(\log |x| + C) = x \log |x| + 2$ から $\log |x| + C = \log |x| + \frac{2}{x}$ となり、$C = \frac{2}{x}$ となります。これは定数ではないので、特殊解にはなりません。

* $y = x \log |x| + 2x$ : $x(\log |x| + C) = x \log |x| + 2x$ から $\log |x| + C = \log |x| + 2$ となり、$C=2$ を代入すると得られます。

* $y = x(\log |x| + 1)$ : $x(\log |x| + C) = x(\log |x| + 1)$ から $\log |x| + C = \log |x| + 1$ となり、$C=1$ を代入すると得られます。

3. 最終的な答え

特殊解となるものは以下の通りです。

* $y = x \log |x|$

* $y = x \log |x| + 2x$

* $y = x (\log |x| + 1)$