与えられた微分方程式 $x^3 \frac{dy}{dx} = x^2y + 2y^3$ の一般解が $y^2 = -\frac{x^2}{4\log|x| + C}$ で与えられているとき、特殊解となるものを選択肢から全て選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x^3 \frac{dy}{dx} = x^2y + 2y^3$ の一般解が $y^2 = -\frac{x^2}{4\log|x| + C}$ で与えられているとき、特殊解となるものを選択肢から全て選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

特殊解は、一般解において、$C$ を特定の値に固定することによって得られます。

しかし、特殊解の中には、一般解の形では表現できないものがあります。

特に、与えられた一般解の分母がゼロになる場合に、特殊解が現れる可能性があります。

一般解の式 $y^2 = -\frac{x^2}{4\log|x| + C}$ を変形すると、

$4y^2 \log|x| + Cy^2 = -x^2$

となります。

与えられた選択肢の式を変形して、$C$ を調整した時に、一般解の形になるかどうかを検討します。

特殊解は，$4 \log|x| + C = 0$ となる場合に発生する可能性があります。

選択肢を一つずつ検討します。

1. $y^2 = -\frac{x^2}{\log|x|}$ これは $C = 0$のとき、$y^2 = - \frac{x^2}{4\log|x|}$ となるため、一般解の形にならない。

2. $y^2 = -\frac{x^2}{4\log|x|}$ これは $C=0$ のときなので、一般解に含まれます。

3. $y^2 = \frac{x^2}{4\log|x| + 1}$ これは一般解の形ではありません。

4. $y^2 = -\frac{x^2}{4\log|x| + 1}$ これは $C = 1$ のときなので、一般解に含まれます。

5. $y^2 = \frac{x^2}{4\log|x| - 1}$ これは一般解の形ではありません。

6. $y^2 = \frac{x^2}{-4\log|x|}$ これは $y^2 = -\frac{x^2}{4\log|x|}$と符号が異なるので一般解の形ではありません。

$4 \log|x| + C = 0$ のとき、$C = -4 \log|x|$となります。

$y^2 = 0$, つまり $y = 0$ が特殊解になりうるかを検討します。

元の微分方程式に代入すると、$x^3 \cdot 0 = x^2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ なので、$y=0$ は解です。

$y^2 = 0$ という解は、$-\frac{x^2}{4\log|x| + C} = 0$ とはならないため、一般解の形で表現できません。

選択肢の中で一般解に含まれないのは、$y^2=0$ となるものを探せばよいことになります。しかし今回はそれに該当するものはありません。

しかし選択肢の吟味の結果、明らかに一般解の特別なケースでないものは除外できるため、選択肢２と４が答えだと考えられます。

3. 最終的な答え

$y^2 = -\frac{x^2}{4\log|x|}$

$y^2 = -\frac{x^2}{4\log|x| + 1}$