(1) $x = \frac{1}{3 + \sqrt{7}}, y = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ のとき、$x + y, x^2 + y^2, x^3 + y^3$ の値を求める。 (2) データ 10, 5, 3, 11, 6, 10, 2, 12, 5 の箱ひげ図として正しいものを選択肢から選ぶ。 (3) $(\sqrt[3]{2} \times 2 \div \sqrt{2^3})^{-6}$ と $\log_2{\sqrt[3]{18}} - \frac{2}{3}\log_2{3}$ の値を求める。 (4) 整式 $2x^3 + 9x^2 - 11x + 10$ を $2x - 1$ で割ったときの商と余りを求める。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 4$, 外接円の半径が 6 であるとき、$\sin C$ の値を求める。 (6) 第 8 項が 40、第 12 項が 64 である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $x = \frac{1}{3 + \sqrt{7}}, y = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ のとき、$x + y, x^2 + y^2, x^3 + y^3$ の値を求める。

(2) データ 10, 5, 3, 11, 6, 10, 2, 12, 5 の箱ひげ図として正しいものを選択肢から選ぶ。

(3) $(\sqrt[3]{2} \times 2 \div \sqrt{2^3})^{-6}$ と $\log_2{\sqrt[3]{18}} - \frac{2}{3}\log_2{3}$ の値を求める。

(4) 整式 $2x^3 + 9x^2 - 11x + 10$ を $2x - 1$ で割ったときの商と余りを求める。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 4$, 外接円の半径が 6 であるとき、$\sin C$ の値を求める。

(6) 第 8 項が 40、第 12 項が 64 である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x = \frac{1}{3 + \sqrt{7}} = \frac{3 - \sqrt{7}}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{3 - \sqrt{7}}{9 - 7} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

$x + y = \frac{3 - \sqrt{7}}{2} + \frac{3 + \sqrt{7}}{2} = \frac{3 - \sqrt{7} + 3 + \sqrt{7}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x^2 = (\frac{3 - \sqrt{7}}{2})^2 = \frac{9 - 6\sqrt{7} + 7}{4} = \frac{16 - 6\sqrt{7}}{4} = 4 - \frac{3}{2}\sqrt{7}$

$y^2 = (\frac{3 + \sqrt{7}}{2})^2 = \frac{9 + 6\sqrt{7} + 7}{4} = \frac{16 + 6\sqrt{7}}{4} = 4 + \frac{3}{2}\sqrt{7}$

$x^2 + y^2 = 4 - \frac{3}{2}\sqrt{7} + 4 + \frac{3}{2}\sqrt{7} = 8$

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)$

$xy = (\frac{3 - \sqrt{7}}{2})(\frac{3 + \sqrt{7}}{2}) = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x^3 + y^3 = 3 \times (3^2 - 3 \times \frac{1}{2}) = 3 \times (9 - \frac{3}{2}) = 3 \times \frac{18 - 3}{2} = 3 \times \frac{15}{2} = \frac{45}{2}$

(2)

データを小さい順に並べると 2, 3, 5, 5, 6, 10, 10, 11, 12

最小値: 2, 最大値: 12

中央値: 6

第 1 四分位数: 3

第 3 四分位数: 10

箱ひげ図として正しいものは④。

(3)

$(\sqrt[3]{2} \times 2 \div \sqrt{2^3})^{-6} = (2^{\frac{1}{3}} \times 2^1 \div 2^{\frac{3}{2}})^{-6} = (2^{\frac{1}{3} + 1 - \frac{3}{2}})^{-6} = (2^{\frac{2 + 6 - 9}{6}})^{-6} = (2^{-\frac{1}{6}})^{-6} = 2^1 = 2$

$\log_2{\sqrt[3]{18}} - \frac{2}{3}\log_2{3} = \log_2{(18^{\frac{1}{3}})} - \log_2{(3^{\frac{2}{3}})} = \log_2{\frac{18^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}} = \log_2{\frac{(2 \times 3^2)^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}} = \log_2{\frac{2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}} = \log_2{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}$

(4)

筆算を行うと

商: $x^2 + 5x - 3$

余り: 7

(5)

正弦定理より $\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$\frac{4}{\sin C} = 2 \times 6 = 12$

$\sin C = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

(6)

等差数列の一般項を $a_n = an + b$ とすると

$a_8 = 8a + b = 40$

$a_{12} = 12a + b = 64$

辺々引くと $4a = 24 \implies a = 6$

$8 \times 6 + b = 40 \implies 48 + b = 40 \implies b = -8$

よって $a_n = 6n - 8$

3. 最終的な答え

(1) $x + y = 3$, $x^2 + y^2 = 8$, $x^3 + y^3 = \frac{45}{2}$

(2) ④

(3) $(\sqrt[3]{2} \times 2 \div \sqrt{2^3})^{-6} = 2$, $\log_2{\sqrt[3]{18}} - \frac{2}{3}\log_2{3} = \frac{1}{3}$

(4) 商: $x^2 + 5x - 3$, 余り: 7

(5) $\sin C = \frac{1}{3}$

(6) $a_n = 6n - 8$