$\sin \alpha = -\frac{3}{4}$, $\cos \beta = \frac{2}{3}$が与えられているとき、 (1) $\sin(\alpha + \beta)$, (2) $\sin(\alpha - \beta)$, (3) $\cos(\alpha + \beta)$, (4) $\cos(\alpha - \beta)$の値を計算する問題です。 ただし、$\alpha$は第3象限、$\beta$は第1象限にあるとします。

1. 問題の内容

$\sin \alpha = -\frac{3}{4}$, $\cos \beta = \frac{2}{3}$が与えられているとき、

(1) $\sin(\alpha + \beta)$, (2) $\sin(\alpha - \beta)$, (3) $\cos(\alpha + \beta)$, (4) $\cos(\alpha - \beta)$の値を計算する問題です。

ただし、$\alpha$は第3象限、$\beta$は第1象限にあるとします。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$が第3象限にあることから$\cos \alpha < 0$、$\beta$が第1象限にあることから$\sin \beta > 0$であることに注意します。

$\sin \alpha$と$\cos \beta$の値から、$\cos \alpha$と$\sin \beta$の値を計算します。

$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{4})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{16}} = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、以下の公式を用いて、それぞれの値を計算します。

(1) $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = (-\frac{3}{4})(\frac{2}{3}) + (-\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{\sqrt{5}}{3}) = -\frac{6}{12} - \frac{\sqrt{35}}{12} = \frac{-6 - \sqrt{35}}{12}$

(2) $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = (-\frac{3}{4})(\frac{2}{3}) - (-\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{\sqrt{5}}{3}) = -\frac{6}{12} + \frac{\sqrt{35}}{12} = \frac{-6 + \sqrt{35}}{12}$

(3) $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{2}{3}) - (-\frac{3}{4})(\frac{\sqrt{5}}{3}) = -\frac{2\sqrt{7}}{12} + \frac{3\sqrt{5}}{12} = \frac{3\sqrt{5} - 2\sqrt{7}}{12}$

(4) $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{2}{3}) + (-\frac{3}{4})(\frac{\sqrt{5}}{3}) = -\frac{2\sqrt{7}}{12} - \frac{3\sqrt{5}}{12} = \frac{-3\sqrt{5} - 2\sqrt{7}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha + \beta) = \frac{-6 - \sqrt{35}}{12}$

(2) $\sin(\alpha - \beta) = \frac{-6 + \sqrt{35}}{12}$

(3) $\cos(\alpha + \beta) = \frac{3\sqrt{5} - 2\sqrt{7}}{12}$

(4) $\cos(\alpha - \beta) = \frac{-3\sqrt{5} - 2\sqrt{7}}{12}$