周囲の長さが24cmの長方形がある。長方形の長い辺の長さを $x$ cmとするとき、長方形の面積が20cm²以上32cm²以下となる $x$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

周囲の長さが24cmの長方形がある。長方形の長い辺の長さを $x$ cmとするとき、長方形の面積が20cm²以上32cm²以下となる $x$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

長方形の短い辺の長さを $y$ cmとすると、周囲の長さが24cmなので、

$2x + 2y = 24$

$x + y = 12$

$y = 12 - x$

長方形の面積は、$xy$ なので、

$xy = x(12 - x) = 12x - x^2$

面積が20cm²以上32cm²以下なので、

$20 \le 12x - x^2 \le 32$

まず、$20 \le 12x - x^2$ を解く。

$x^2 - 12x + 20 \le 0$

$(x - 2)(x - 10) \le 0$

$2 \le x \le 10$

次に、$12x - x^2 \le 32$ を解く。

$x^2 - 12x + 32 \ge 0$

$(x - 4)(x - 8) \ge 0$

$x \le 4$ または $x \ge 8$

$2 \le x \le 10$ と $x \le 4$ または $x \ge 8$ の共通範囲を求める。

$2 \le x \le 4$ または $8 \le x \le 10$

また、$x$ は長方形の長い辺なので、$x \ge y = 12 - x$ より $2x \ge 12$, $x \ge 6$ である必要がある。

したがって、$8 \le x \le 10$ となる。

3. 最終的な答え

$8 \le x \le 10$