$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

積を和に変換する公式を利用する。

$2 \sin 20^\circ$ を掛けて、$2 \sin 20^\circ$ で割る。

$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$

倍角の公式 $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ を用いると、

$\frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2 \times 2\sin 20^\circ}$

$= \frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{2 \times 4 \sin 20^\circ}$

$= \frac{\sin 160^\circ}{8 \sin 20^\circ}$

ここで $\sin 160^\circ = \sin (180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$ なので、

$\frac{\sin 20^\circ}{8 \sin 20^\circ} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}$