2次方程式 $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$, $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解きます。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$, $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$

$\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$

となる。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ を利用する。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{5}{2})^2 - 2(2) = \frac{25}{4} - 4 = \frac{25 - 16}{4} = \frac{9}{4}$

(2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$ を利用する。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\frac{5}{2}}{2} = \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta)$ を利用する。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\frac{5}{2})((\frac{5}{2})^2 - 3(2)) = (\frac{5}{2})(\frac{25}{4} - 6) = (\frac{5}{2})(\frac{25 - 24}{4}) = \frac{5}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{9}{4}$

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{5}{4}$

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{5}{8}$