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与えられた2つの複素数 $3 + \sqrt{5}i$ と $3 - \sqrt{5}i$ を根とする2次方程式を求める問題です。

代数学二次方程式複素数解の公式
2025/7/1

1. 問題の内容

与えられた2つの複素数 3+5i3 + \sqrt{5}i と 3−5i3 - \sqrt{5}i を根とする2次方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式の根が α\alpha と β\beta であるとき、その2次方程式は (x−α)(x−β)=0 (x - \alpha)(x - \beta) = 0 と表すことができます。
今回は α=3+5i\alpha = 3 + \sqrt{5}i、β=3−5i\beta = 3 - \sqrt{5}i ですから、(x−(3+5i))(x−(3−5i))=0 (x - (3 + \sqrt{5}i))(x - (3 - \sqrt{5}i)) = 0 を展開して整理します。
まず、式を展開します。
(x−3−5i)(x−3+5i)=0 (x - 3 - \sqrt{5}i)(x - 3 + \sqrt{5}i) = 0
((x−3)−5i)((x−3)+5i)=0 ((x - 3) - \sqrt{5}i)((x - 3) + \sqrt{5}i) = 0
これは (A−B)(A+B)=A2−B2(A - B)(A + B) = A^2 - B^2 の形なので、
(x−3)2−(5i)2=0 (x - 3)^2 - (\sqrt{5}i)^2 = 0
x2−6x+9−(5i2)=0 x^2 - 6x + 9 - (5i^2) = 0
i2=−1 i^2 = -1 なので、
x2−6x+9−5(−1)=0 x^2 - 6x + 9 - 5(-1) = 0
x2−6x+9+5=0 x^2 - 6x + 9 + 5 = 0
x2−6x+14=0 x^2 - 6x + 14 = 0

3. 最終的な答え

x2−6x+14=0 x^2 - 6x + 14 = 0

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