与えられた3点を通る2次関数を求める問題です。2つの小問題があります。 (1) 3点(-2, 5), (0, -3), (3, 0)を通る2次関数を求めます。 (2) 3点(-1, 1), (1, -5), (3, 5)を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3点を通る2次関数を求める問題です。2つの小問題があります。

(1) 3点(-2, 5), (0, -3), (3, 0)を通る2次関数を求めます。

(2) 3点(-1, 1), (1, -5), (3, 5)を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

2次関数は一般的に $y = ax^2 + bx + c$ と表されます。与えられた3点の座標をこの式に代入し、a, b, cに関する3つの連立方程式を立てます。この連立方程式を解くことで、a, b, cの値を求め、2次関数の式を決定します。

(1)

3点(-2, 5), (0, -3), (3, 0)を$y = ax^2 + bx + c$に代入します。

* (-2, 5)より: $5 = 4a - 2b + c$

* (0, -3)より: $-3 = c$

* (3, 0)より: $0 = 9a + 3b + c$

$c = -3$ を他の2つの式に代入します。

* $5 = 4a - 2b - 3 \Rightarrow 4a - 2b = 8 \Rightarrow 2a - b = 4$ ...(1)

* $0 = 9a + 3b - 3 \Rightarrow 9a + 3b = 3 \Rightarrow 3a + b = 1$ ...(2)

(1)と(2)の式を足し合わせます。

$2a - b + 3a + b = 4 + 1$

$5a = 5$

$a = 1$

$a = 1$ を (2)に代入します。

$3(1) + b = 1$

$3 + b = 1$

$b = -2$

よって、$a = 1$, $b = -2$, $c = -3$ となります。

(2)

3点(-1, 1), (1, -5), (3, 5)を$y = ax^2 + bx + c$に代入します。

* (-1, 1)より: $1 = a - b + c$ ...(3)

* (1, -5)より: $-5 = a + b + c$ ...(4)

* (3, 5)より: $5 = 9a + 3b + c$ ...(5)

(3)と(4)の式を足し合わせます。

$1 + (-5) = a - b + c + a + b + c$

$-4 = 2a + 2c$

$-2 = a + c$ ...(6)

(3)と(4)の式を引き算します。(3)-(4)

$1 - (-5) = a - b + c - (a + b + c)$

$6 = -2b$

$b = -3$

$b = -3$ を (3) と (5) に代入します。

* $1 = a - (-3) + c \Rightarrow 1 = a + 3 + c \Rightarrow a + c = -2$ ...(7)

* $5 = 9a + 3(-3) + c \Rightarrow 5 = 9a - 9 + c \Rightarrow 9a + c = 14$ ...(8)

(8) - (7)

$9a + c - (a + c) = 14 - (-2)$

$8a = 16$

$a = 2$

$a = 2$ を (7)に代入します。

$2 + c = -2$

$c = -4$

よって、$a = 2$, $b = -3$, $c = -4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 4$