定積分 $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin\theta$ と変数変換します。すると、$dx = \cos\theta d\theta$ となり、$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = -\frac{\pi}{4}$.

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$.

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \cos\theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2\theta d\theta$

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を用いて積分を書き換えます。

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos(2\theta)) d\theta$

$= \frac{1}{2} \left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 1 \right]$

$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$