曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 6)$ から引かれた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。 ただし、与えられた点が曲線上の点 $(1, 1)$ ではなく $(1,6)$ であると仮定します。与えられた点 $(1,1)$ は曲線 $y=x^3 + 5x$ 上に存在しないためです。
2025/7/1
1. 問題の内容
曲線 上の点 から引かれた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。
ただし、与えられた点が曲線上の点 ではなく であると仮定します。与えられた点 は曲線 上に存在しないためです。
2. 解き方の手順
* 曲線の式を微分して、傾きを求める。
* 接点の 座標を とすると、接点の座標は となる。この点における接線の傾きは となる。
* 接線の方程式は、傾き で点 を通る直線なので、
* この接線が点 を通るので、
または
* のとき、接点はとなり、傾きはである。したがって、接線は、.
* のとき、接点は となり、傾きは である。したがって、接線は、
のときの接線の方程式:
のときの接線の方程式:
の時、 接点の座標は
の時、接点の座標は
問題文の指示通り、曲線上の点から引いた接線と考えるならば、 より、であり、の時、である。よって、接線の方程式は、より、である。接点の座標は
3. 最終的な答え
与えられた点が の場合:
接線の方程式: または
接点の座標: または
与えられた点が であり、問題文の曲線上の点で接する場合:
接線の方程式:
接点の座標: