曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 6)$ から引かれた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。 ただし、与えられた点が曲線上の点 $(1, 1)$ ではなく $(1,6)$ であると仮定します。与えられた点 $(1,1)$ は曲線 $y=x^3 + 5x$ 上に存在しないためです。

解析学微分接線曲線微分方程式
2025/7/1

1. 問題の内容

曲線 y=x3+5xy = x^3 + 5x 上の点 (1,6)(1, 6) から引かれた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。
ただし、与えられた点が曲線上の点 (1,1)(1, 1) ではなく (1,6)(1,6) であると仮定します。与えられた点 (1,1)(1,1) は曲線 y=x3+5xy=x^3 + 5x 上に存在しないためです。

2. 解き方の手順

* 曲線の式を微分して、傾きを求める。
y=dydx=3x2+5y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 5
* 接点の xx 座標を tt とすると、接点の座標は (t,t3+5t)(t, t^3 + 5t) となる。この点における接線の傾きは 3t2+53t^2 + 5 となる。
* 接線の方程式は、傾き 3t2+53t^2 + 5 で点 (t,t3+5t)(t, t^3 + 5t) を通る直線なので、
y(t3+5t)=(3t2+5)(xt)y - (t^3 + 5t) = (3t^2 + 5)(x - t)
y=(3t2+5)x3t35t+t3+5ty = (3t^2 + 5)x - 3t^3 - 5t + t^3 + 5t
y=(3t2+5)x2t3y = (3t^2 + 5)x - 2t^3
* この接線が点 (1,6)(1, 6) を通るので、
6=(3t2+5)(1)2t36 = (3t^2 + 5)(1) - 2t^3
6=3t2+52t36 = 3t^2 + 5 - 2t^3
2t33t2+1=02t^3 - 3t^2 + 1 = 0
(t1)2(2t+1)=0(t-1)^2(2t+1) = 0
t=1t=1 または t=12t=-\frac{1}{2}
* t=1t=1のとき、接点は(1,6)(1,6)となり、傾きは3(1)2+5=83(1)^2 + 5 = 8である。したがって、接線は、y=8x2y=8x-2.
* t=12t = -\frac{1}{2}のとき、接点は (12,1852)=(12,218)(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8} - \frac{5}{2})=(-\frac{1}{2}, -\frac{21}{8})となり、傾きは 3(12)2+5=34+5=2343(-\frac{1}{2})^2 + 5 = \frac{3}{4}+5=\frac{23}{4}である。したがって、接線は、
y=234x2(18)=234x+14y = \frac{23}{4}x - 2(-\frac{1}{8})=\frac{23}{4}x + \frac{1}{4}
t=1t=1 のときの接線の方程式:y=8x2y=8x-2
t=12t = -\frac{1}{2} のときの接線の方程式:y=234x+14y = \frac{23}{4}x + \frac{1}{4}
t=1t=1 の時、 接点の座標は (1,6)(1, 6)
t=12t = -\frac{1}{2} の時、接点の座標は (12,218)(-\frac{1}{2}, -\frac{21}{8})
問題文の指示通り、曲線上の点(1,1)(1,1)から引いた接線と考えるならば、y=x3+5xy=x^3+5x より、y=3x2+5y'=3x^2+5であり、x=1x=1の時、y=3(1)2+5=8y'=3(1)^2+5=8である。よって、接線の方程式は、y1=8(x1)y-1=8(x-1)より、y=8x7y=8x-7である。接点の座標は(1,1)(1,1)

3. 最終的な答え

与えられた点が (1,6)(1,6) の場合:
接線の方程式: y=8x2y = 8x - 2 または y=234x+14y=\frac{23}{4}x+\frac{1}{4}
接点の座標: (1,6)(1, 6) または (12,218)(-\frac{1}{2}, -\frac{21}{8})
与えられた点が (1,1)(1,1) であり、問題文の曲線上の点(1,1)(1,1)で接する場合:
接線の方程式: y=8x7y = 8x - 7
接点の座標: (1,1)(1, 1)

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