曲線 $y = x^3 + 2$ 上の点から $(0, 18)$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 2$ 上の点から $(0, 18)$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^3 + 2)$ とおく。

次に、曲線 $y = x^3 + 2$ を微分して、$y' = 3x^2$を得る。

接点 $(t, t^3 + 2)$ における接線の傾きは $3t^2$ である。

したがって、接線の方程式は次のようになる。

$y - (t^3 + 2) = 3t^2 (x - t)$

この接線が点 $(0, 18)$ を通るので、この座標を代入すると、

$18 - (t^3 + 2) = 3t^2 (0 - t)$

$16 - t^3 = -3t^3$

$2t^3 = -16$

$t^3 = -8$

$t = -2$

したがって、接点の座標は $(-2, (-2)^3 + 2) = (-2, -8 + 2) = (-2, -6)$。

接線の傾きは $3t^2 = 3(-2)^2 = 3(4) = 12$。

接線の方程式は $y - (-6) = 12(x - (-2))$

$y + 6 = 12(x + 2)$

$y + 6 = 12x + 24$

$y = 12x + 18$

3. 最終的な答え

接線の方程式：$y = 12x + 18$

接点の座標：$(-2, -6)$