$m, n$ は自然数とします。定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin(mt) \sin(nt) dt$ を、$m \neq n$ の場合と $m = n$ の場合に分けて求めよ。

1. 問題の内容

$m, n$ は自然数とします。定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin(mt) \sin(nt) dt$ を、$m \neq n$ の場合と $m = n$ の場合に分けて求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の積を和に変換する公式を利用します。

$\sin(mt)\sin(nt) = \frac{1}{2} [\cos((m-n)t) - \cos((m+n)t)]$

(1) $m \neq n$ の場合

$\int_{0}^{2\pi} \sin(mt) \sin(nt) dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} [\cos((m-n)t) - \cos((m+n)t)] dt$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \cos((m-n)t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \cos((m+n)t) dt$

$m, n$ は自然数で $m \neq n$ なので、$m-n$ と $m+n$ は0でない整数です。

$\int_{0}^{2\pi} \cos(kt) dt = \left[ \frac{1}{k} \sin(kt) \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{k} \sin(2k\pi) - \frac{1}{k} \sin(0) = 0$ (kは0でない整数)

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} \cos((m-n)t) dt = 0$

$\int_{0}^{2\pi} \cos((m+n)t) dt = 0$

よって、

$\int_{0}^{2\pi} \sin(mt) \sin(nt) dt = \frac{1}{2}(0 - 0) = 0$

(2) $m = n$ の場合

$\int_{0}^{2\pi} \sin(mt) \sin(nt) dt = \int_{0}^{2\pi} \sin^2(mt) dt$

$\sin^2(mt) = \frac{1 - \cos(2mt)}{2}$

$\int_{0}^{2\pi} \sin^2(mt) dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2mt)}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos(2mt)) dt$

$= \frac{1}{2} \left[ t - \frac{1}{2m} \sin(2mt) \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} \left[ (2\pi - \frac{1}{2m} \sin(4m\pi)) - (0 - \frac{1}{2m} \sin(0)) \right]$

$= \frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$

3. 最終的な答え

$m \neq n$ のとき、 $\int_{0}^{2\pi} \sin(mt) \sin(nt) dt = 0$

$m = n$ のとき、 $\int_{0}^{2\pi} \sin(mt) \sin(nt) dt = \pi$