問題は108について、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) 108の正の約数の個数を求めよ。 (2) 108の正の約数の総和を求めよ。

数論約数素因数分解約数の個数約数の総和
2025/7/1

1. 問題の内容

問題は108について、以下の2つの問いに答えるものです。
(1) 108の正の約数の個数を求めよ。
(2) 108の正の約数の総和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 108の正の約数の個数を求める。
まず、108を素因数分解します。
108=2×54=2×2×27=22×3×9=22×3×3×3=22×33108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2^2 \times 3 \times 9 = 2^2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3
約数の個数は、各素因数の指数に1を足して掛け合わせたものです。
(2+1)×(3+1)=3×4=12(2+1) \times (3+1) = 3 \times 4 = 12
したがって、108の正の約数の個数は12個です。
(2) 108の正の約数の総和を求める。
素因数分解の結果 108=22×33108 = 2^2 \times 3^3 を利用します。
約数の総和は、各素因数について (1+p+p2+...+pn)(1 + p + p^2 + ... + p^n) を計算し、それらを掛け合わせたものです。
(1+2+22)×(1+3+32+33)=(1+2+4)×(1+3+9+27)=7×40=280(1 + 2 + 2^2) \times (1 + 3 + 3^2 + 3^3) = (1 + 2 + 4) \times (1 + 3 + 9 + 27) = 7 \times 40 = 280
したがって、108の正の約数の総和は280です。

3. 最終的な答え

(1) 108の正の約数の個数:12個
(2) 108の正の約数の総和:280

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