定積分 $\int_{0}^{1} (\frac{x+1}{x^2+1})^2 dx$ を計算する問題です。ただし、$x = \tan \theta$ とおいて計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (\frac{x+1}{x^2+1})^2 dx$ を計算する問題です。ただし、$x = \tan \theta$ とおいて計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \tan \theta$ と置換します。すると、$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = (1 + \tan^2 \theta) d\theta = (1 + x^2) d\theta$ となります。

また、積分範囲は、$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化します。

したがって、

$$\int_{0}^{1} \left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\tan \theta + 1}{\tan^2 \theta + 1} \right)^2 (1+\tan^2 \theta) d\theta$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\tan \theta + 1)^2}{(\tan^2 \theta + 1)^2} (1+\tan^2 \theta) d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\tan \theta + 1)^2}{\sec^4 \theta} \sec^2 \theta d\theta$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\tan \theta + 1)^2}{\sec^2 \theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan \theta + 1)^2 \cos^2 \theta d\theta$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin \theta + \cos \theta)^2 d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) d\theta$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \sin 2\theta) d\theta = \left[ \theta - \frac{1}{2} \cos 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$

$$= \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \cos 0 \right) = \frac{\pi}{4} - 0 + \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} = \frac{\pi+2}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi+2}{4}$