0以上の整数 $n$ に対して、$a_n = \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx$ と定義する。以下の問題を解く。 (1) $a_1$ を求めよ。 (2) $a_{n+2}$ を $a_n$ を用いて表せ。 (3) $a_{n+1} a_n$ を $n$ を用いて表せ。 (4) $\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

0以上の整数 $n$ に対して、$a_n = \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx$ と定義する。以下の問題を解く。

(1) $a_1$ を求めよ。

(2) $a_{n+2}$ を $a_n$ を用いて表せ。

(3) $a_{n+1} a_n$ を $n$ を用いて表せ。

(4) $\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ を求める。

$a_1 = \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{1}{2}} dx = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$

これは半径1の円の四分の一の面積なので、

$a_1 = \frac{\pi}{4}$

(2) $a_{n+2}$ を $a_n$ を用いて表す。

$a_{n+2} = \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n+2}{2}} dx = \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}+1} dx = \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} (1-x^2) dx = \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx - \int_0^1 x (x(1-x^2)^{\frac{n}{2}}) dx$

$= a_n - \int_0^1 x(x(1-x^2)^{\frac{n}{2}}) dx$

$\int_0^1 x^2(1-x^2)^{\frac{n}{2}}dx = \int_0^1 x\cdot x(1-x^2)^{\frac{n}{2}}dx$

部分積分を行う。$u = x, dv = x(1-x^2)^{\frac{n}{2}}dx$ とすると、

$du = dx, v = \int x(1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx = -\frac{1}{n/2 +1}(1-x^2)^{\frac{n}{2}+1} \cdot \frac{1}{2}= -\frac{1}{n+2}(1-x^2)^{\frac{n}{2}+1}$

よって、$a_{n+2} = a_n + \frac{x}{n+2}(1-x^2)^{\frac{n}{2}+1}|_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{n+2} (1-x^2)^{\frac{n}{2}+1} dx= a_n - [x \frac{-2}{n+2}(1-x^2)^{\frac{n+2}{2}}]_0^1 +\int_0^1 \frac{1}{n+2} (1-x^2)^{\frac{n}{2}+1} dx = a_n - \int_0^1 \frac{(1-x^2)^{(n/2)+1}}{n+2} dx = \frac{n+2 a_{n+2} = na_n}{n+2} a_{n+2}$

$\int_0^1 \frac{(1-x^2)^{(n/2)+1} = a_{n+2} }{n+2} dx$

よって、$a_{n+2} = a_n - \int_0^1 x(-\frac{(1-x^2)^{\frac{n+2}{2}}}{\frac{n+2}{2}})' dx = a_n - ( \frac{x}{n+2}(1-x^2)^{\frac{n+2}{2}} )'$

$a_{n+2} = a_n - [\frac{x}{n/2+1}(1-x^2)^{(n/2)+1}]_0^1 + \int_0^1 ( \frac{1}{n+2}(1-x^2)^{(n/2)+1}) dx=a_n +0+ \frac{a_{n+2}}{n+2}$

$a_{n+2} = a_n - \int_0^1 \frac{2}{n+2} x^2(1-x^2)^{n/2} dx$

したがって、$\int_0^1 x^2(1-x^2)^{\frac{n}{2}}dx = -\frac{2}{n/2 +1}(1-x^2)^{\frac{n+2}{2}}$

$a_{n+2}= \int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}} dx- \int x\cdot \frac{d}{dx}(-\frac{(1-x^2)^{\frac{n}{2}+1}}{(n/2+1)*2})$

よって、$(n+2)a_{n+2} = n a_n$,　したがって、$a_{n+2} = \frac{n}{n+2}a_n$

(3) $a_{n+1} a_n$ を $n$ を用いて表す。

ウォリス積分を用いる。

(4) $\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} a_n$ を求める。

まず、$a_0 = \int_0^1 1 dx = 1$

$a_2 = \frac{0}{2} a_0 = 0$

$a_1 = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx = \frac{\pi}{4}$

$a_3 = \frac{1}{3} \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$

$na_n^2$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = \frac{\pi}{4}$

(2) $a_{n+2} = \frac{n}{n+2} a_n$

(3) (未解答)

(4) (未解答)