関数 $f(x)$ が積分方程式 $f(x) = x^2 - x\int_0^1 f(t)dt + 2\int_0^x f'(t)dt$ を満たすとき、 (1) $f(x)$ が2次関数であることを示す。 (2) $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が積分方程式 $f(x) = x^2 - x\int_0^1 f(t)dt + 2\int_0^x f'(t)dt$ を満たすとき、

(1) $f(x)$ が2次関数であることを示す。

(2) $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A = \int_0^1 f(t)dt$ と $B = 2\int_0^x f'(t)dt$ とおく。$f(x) = x^2 - xA + B$ となる。

ここで、$B = 2\int_0^x f'(t)dt = 2[f(t)]_0^x = 2(f(x) - f(0))$ である。

よって、$f(x) = x^2 - xA + 2f(x) - 2f(0)$ となり、$f(x) = -x^2 + xA + 2f(0)$ となる。

これは $x$ の二次式であるから、$f(x)$ は2次関数である。

(2) $f(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。

$f'(x) = 2ax + b$ である。

$f(t) = at^2 + bt + c$ なので、$\int_0^1 f(t)dt = \int_0^1 (at^2 + bt + c)dt = [\frac{at^3}{3} + \frac{bt^2}{2} + ct]_0^1 = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c$

$\int_0^x f'(t)dt = \int_0^x (2at + b) dt = [at^2 + bt]_0^x = ax^2 + bx$

与えられた式に代入すると、

$ax^2 + bx + c = x^2 - x(\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c) + 2(ax^2 + bx)$

$ax^2 + bx + c = (1+2a)x^2 + (-\frac{a}{3} - \frac{b}{2} - c+2b)x$

係数を比較すると、

$a = 1+2a$

$b = -\frac{a}{3} - \frac{b}{2} - c+2b$

$c = 0$

$a = -1$

$b = -\frac{a}{3} - \frac{b}{2} - c+2b = \frac{1}{3} - \frac{b}{2}+2b = \frac{1}{3} + \frac{3}{2}b$

$-\frac{1}{2}b = \frac{1}{3}$

$b = -\frac{2}{3}$

$f(x) = -x^2 - \frac{2}{3}x$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$は2次関数である。

(2) $f(x) = -x^2 - \frac{2}{3}x$