与えられた3つの関数を積分する問題です。 (1) $\frac{3x}{(x-1)^2}$ (2) $\frac{x+1}{x^2-4x+3}$ (3) $\sqrt{6-3x^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を積分する問題です。

(1) $\frac{3x}{(x-1)^2}$

(2) $\frac{x+1}{x^2-4x+3}$

(3) $\sqrt{6-3x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{3x}{(x-1)^2}$ の積分

部分分数分解を行います。

$\frac{3x}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}$

$3x = A(x-1) + B$

$3x = Ax - A + B$

$A = 3$

$-A + B = 0$ より $B = A = 3$

よって、

$\frac{3x}{(x-1)^2} = \frac{3}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^2}$

$\int \frac{3x}{(x-1)^2} dx = \int \frac{3}{x-1} dx + \int \frac{3}{(x-1)^2} dx$

$= 3\int \frac{1}{x-1} dx + 3\int (x-1)^{-2} dx$

$= 3\ln|x-1| + 3\frac{(x-1)^{-1}}{-1} + C$

$= 3\ln|x-1| - \frac{3}{x-1} + C$

(2) $\frac{x+1}{x^2-4x+3}$ の積分

分母を因数分解します。

$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$

部分分数分解を行います。

$\frac{x+1}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3}$

$x+1 = A(x-3) + B(x-1)$

$x=1$ のとき $2 = A(1-3) = -2A$ より $A = -1$

$x=3$ のとき $4 = B(3-1) = 2B$ より $B = 2$

よって、

$\frac{x+1}{x^2-4x+3} = \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x-3}$

$\int \frac{x+1}{x^2-4x+3} dx = \int \frac{-1}{x-1} dx + \int \frac{2}{x-3} dx$

$= -\int \frac{1}{x-1} dx + 2\int \frac{1}{x-3} dx$

$= -\ln|x-1| + 2\ln|x-3| + C$

$= \ln\left|\frac{(x-3)^2}{x-1}\right| + C$

(3) $\sqrt{6-3x^2}$ の積分

$\sqrt{6-3x^2} = \sqrt{3(2-x^2)} = \sqrt{3}\sqrt{2-x^2}$

$\int \sqrt{6-3x^2} dx = \sqrt{3}\int \sqrt{2-x^2} dx$

$x = \sqrt{2}\sin\theta$ と置換すると $dx = \sqrt{2}\cos\theta d\theta$

$\sqrt{2-x^2} = \sqrt{2-2\sin^2\theta} = \sqrt{2}\sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{2}\cos\theta$

$\int \sqrt{2-x^2} dx = \int \sqrt{2}\cos\theta \cdot \sqrt{2}\cos\theta d\theta = 2\int \cos^2\theta d\theta$

$= 2\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \int (1+\cos(2\theta)) d\theta$

$= \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) + C = \theta + \sin\theta\cos\theta + C$

$\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$

$\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{1-\frac{x^2}{2}} = \frac{\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2}}$

$\int \sqrt{2-x^2} dx = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \frac{x}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2}} + C = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \frac{x\sqrt{2-x^2}}{2} + C$

$\int \sqrt{6-3x^2} dx = \sqrt{3}\left(\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \frac{x\sqrt{2-x^2}}{2}\right) + C$

$= \sqrt{3}\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \frac{x\sqrt{6-3x^2}}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{3x}{(x-1)^2} dx = 3\ln|x-1| - \frac{3}{x-1} + C$

(2) $\int \frac{x+1}{x^2-4x+3} dx = \ln\left|\frac{(x-3)^2}{x-1}\right| + C$

(3) $\int \sqrt{6-3x^2} dx = \sqrt{3}\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \frac{x\sqrt{6-3x^2}}{2} + C$