次の関数の極値を求めよ。 (1) $y = |x-3|\sqrt{x+1}$ (2) $y = \sqrt{|x^2-1|}$ (3) $y = (x+5)\sqrt[3]{x^2}$

1. 問題の内容

次の関数の極値を求めよ。

(1) $y = |x-3|\sqrt{x+1}$

(2) $y = \sqrt{|x^2-1|}$

(3) $y = (x+5)\sqrt[3]{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = |x-3|\sqrt{x+1}$

まず、定義域を確認する。$\sqrt{x+1}$ が存在するため、$x+1 \geq 0$、つまり $x \geq -1$。

場合分けをする。

(i) $x \geq 3$ のとき、$y = (x-3)\sqrt{x+1}$

$y' = \sqrt{x+1} + (x-3)\frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2(x+1) + x - 3}{2\sqrt{x+1}} = \frac{3x-1}{2\sqrt{x+1}}$

$y' = 0$ となるのは $x = \frac{1}{3}$ だが、$x \geq 3$ の範囲には存在しない。

$x > 3$ で $y' > 0$ なので、この範囲では単調増加。

(ii) $-1 \leq x < 3$ のとき、$y = (3-x)\sqrt{x+1}$

$y' = -\sqrt{x+1} + (3-x)\frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{-2(x+1) + 3 - x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{-3x+1}{2\sqrt{x+1}}$

$y' = 0$ となるのは $x = \frac{1}{3}$。

増減表を書く。

$x$ | -1 | ... | 1/3 | ... | 3 | ...

---|---:|:---:|:---:|:---:|:---:

$y'$ | - | + | 0 | - | +

$y$ | 0 | / | 極大 | / | 0

$x = \frac{1}{3}$ のとき $y = (3-\frac{1}{3})\sqrt{\frac{1}{3}+1} = \frac{8}{3}\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{9}$

よって、$x = \frac{1}{3}$ で極大値 $\frac{16\sqrt{3}}{9}$、$x = 3$ および $x = -1$ で極小値 0。

(2) $y = \sqrt{|x^2-1|}$

$y = \sqrt{|(x-1)(x+1)|}$

定義域は実数全体。

場合分けをする。

(i) $x^2-1 \geq 0$ つまり $x \leq -1$ または $x \geq 1$ のとき、$y = \sqrt{x^2-1}$

$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

$x < -1$ では $y' < 0$、$x > 1$ では $y' > 0$。

(ii) $x^2-1 < 0$ つまり $-1 < x < 1$ のとき、$y = \sqrt{1-x^2}$

$y' = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$-1 < x < 0$ では $y' > 0$、$0 < x < 1$ では $y' < 0$。

増減表を書く。

$x$ | -$\infty$ | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... | $\infty$

---|---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:

$y'$ | - | - | 無し | + | 0 | - | 無し | + | +

$y$ | $\infty$ | / | 0 | / | 1 | / | 0 | / | $\infty$

よって、$x = 0$ で極大値 1、$x = -1$ および $x = 1$ で極小値 0。

(3) $y = (x+5)\sqrt[3]{x^2}$

$y = (x+5)x^{2/3}$

$y' = x^{2/3} + (x+5)\frac{2}{3}x^{-1/3} = x^{2/3} + \frac{2(x+5)}{3x^{1/3}} = \frac{3x+2x+10}{3x^{1/3}} = \frac{5x+10}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{5(x+2)}{3\sqrt[3]{x}}$

$y' = 0$ となるのは $x = -2$。また、$x = 0$ で $y'$ は定義されない。

増減表を書く。

$x$ | -$\infty$ | ... | -2 | ... | 0 | ... | $\infty$

---|---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:

$y'$ | + | + | 0 | - | 無し | + | +

$y$ | -$\infty$ | / | 極大 | / | 0 | / | $\infty$

$x = -2$ のとき $y = (-2+5)\sqrt[3]{(-2)^2} = 3\sqrt[3]{4}$

よって、$x = -2$ で極大値 $3\sqrt[3]{4}$、$x = 0$ で極小値 0。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{3}$ で極大値 $\frac{16\sqrt{3}}{9}$、$x = 3$ および $x = -1$ で極小値 0。

(2) $x = 0$ で極大値 1、$x = -1$ および $x = 1$ で極小値 0。

(3) $x = -2$ で極大値 $3\sqrt[3]{4}$、$x = 0$ で極小値 0。