極限 $\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^2 - 3})$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^2 - 3})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は、$\infty - \infty$ の不定形になっているので、式を変形する必要がある。無理式を含むため、有理化を試みる。

まず、$n - \sqrt{n^2 - 3}$ に $n + \sqrt{n^2 - 3}$ を掛けて割る。

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\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^2 - 3}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(n - \sqrt{n^2 - 3})(n + \sqrt{n^2 - 3})}{n + \sqrt{n^2 - 3}}

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分子を展開すると、

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\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - (n^2 - 3)}{n + \sqrt{n^2 - 3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n + \sqrt{n^2 - 3}}

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分母の $\sqrt{n^2 - 3}$ を $n$ でくくりだすと、

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\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n + \sqrt{n^2(1 - \frac{3}{n^2})}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n + n\sqrt{1 - \frac{3}{n^2}}}

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分母を $n$ で割ると、

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\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}})}

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$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n^2} \to 0$ なので、

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\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}})} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n(1 + \sqrt{1 - 0})} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2n}

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$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{2n} \to 0$ となる。

3. 最終的な答え

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