与えられた極限値を求める問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n}} $$

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n}}$$

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。

$$\frac{1}{\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n}} = \frac{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}}{(\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n})(\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n})}$$

分母を計算すると、

$$(\sqrt{n^2+2n})^2 - (\sqrt{n^2-2n})^2 = (n^2+2n) - (n^2-2n) = 4n$$

よって、

$$\frac{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}}{4n}$$

分子の根号の中から $n^2$ をくくり出し、$n$として分母と約分します。

$$\frac{\sqrt{n^2(1+\frac{2}{n})} + \sqrt{n^2(1-\frac{2}{n})}}{4n} = \frac{n\sqrt{1+\frac{2}{n}} + n\sqrt{1-\frac{2}{n}}}{4n} = \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + \sqrt{1-\frac{2}{n}}}{4}$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + \sqrt{1-\frac{2}{n}}}{4} = \frac{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{2}$$