$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2 + 2n}{n^3 + 3}$ の極限値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2 + 2n}{n^3 + 3}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

極限を求めるために、分子と分母を$n$の最高次数で割ります。

この場合、分母の最高次数は$n^3$なので、分子と分母を$n^3$で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2 + 2n}{n^3 + 3} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^2}{n^3} + \frac{2n}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3} + \frac{3}{n^3}}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{3}{n^3}}$

$n$が無限大に近づくと、$\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n^2}$, $\frac{3}{n^3}$ は0に近づきます。したがって、

$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{3}{n^3}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

0