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与えられた数列の極限 $\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+7}{4n^2-5}$ を求めます。

解析学極限数列の極限
2025/7/14

1. 問題の内容

与えられた数列の極限 lim⁡n→∞3n2+74n2−5\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+7}{4n^2-5} を求めます。

2. 解き方の手順

数列の極限を求めるために、分子と分母を n2n^2 で割ります。
lim⁡n→∞3n2+74n2−5=lim⁡n→∞3n2n2+7n24n2n2−5n2\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+7}{4n^2-5} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2}-\frac{5}{n^2}}
=lim⁡n→∞3+7n24−5n2= \lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{7}{n^2}}{4-\frac{5}{n^2}}
n→∞n\to\infty のとき、7n2→0\frac{7}{n^2}\to 0 かつ 5n2→0\frac{5}{n^2}\to 0 であるため、
lim⁡n→∞3+7n24−5n2=3+04−0=34\lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{7}{n^2}}{4-\frac{5}{n^2}} = \frac{3+0}{4-0} = \frac{3}{4}

3. 最終的な答え

34\frac{3}{4}

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