関数 $f(x) = ax^3 - 3ax^2 + b$ ($a > 0$) の区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値が12、最小値が $-\frac{16}{27}$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax^3 - 3ax^2 + b$ ($a > 0$) の区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値が12、最小値が $-\frac{16}{27}$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3ax^2 - 6ax = 3ax(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ です。$a>0$より、$x=0$で極大値、x=2で極小値を取ります。

また、定義域は $-2 \le x \le 3$ であるので、端点 $x=-2, 3$ における $f(x)$ の値も考慮する必要があります。

$f(0) = b$

$f(2) = 8a - 12a + b = -4a + b$

$f(-2) = -8a - 12a + b = -20a + b$

$f(3) = 27a - 27a + b = b$

ここで、$a>0$ より、以下の大小関係が成立します。

$-20a + b < -4a + b < b$

したがって、極大値または$x=3$における値$b$が最大値12を取り、極小値$-4a+b$、または$x=-2$における値$-20a+b$が最小値$-\frac{16}{27}$を取ります。

場合分けして考えます。

(i) $f(0) = f(3) = b = 12$ の場合

最小値は $f(2) = -4a + b = -4a + 12 = -\frac{16}{27}$

$4a = 12 + \frac{16}{27} = \frac{324+16}{27} = \frac{340}{27}$

$a = \frac{340}{27 \cdot 4} = \frac{85}{27}$

このとき、

$f(-2) = -20a + b = -20 \cdot \frac{85}{27} + 12 = -\frac{1700}{27} + \frac{324}{27} = -\frac{1376}{27} < -\frac{16}{27}$

よって、この場合は条件を満たします。

(ii) $f(2) = -4a+b = -\frac{16}{27}$ かつ $f(-2) = -20a+b = 12$ の場合

連立方程式を解くと

$-4a + b = -\frac{16}{27}$

$-20a + b = 12$

上の式から下の式を引くと

$16a = -\frac{16}{27} - 12 = -\frac{16}{27} - \frac{324}{27} = -\frac{340}{27}$

$a = -\frac{340}{27 \cdot 16} = -\frac{85}{108}$

これは $a>0$ に反するので、この場合は不適。

3. 最終的な答え

$a = \frac{85}{27}$, $b = 12$