実数 $a, b, c$ を係数とする関数 $f(x) = x^2 + ax + b + c \log(1+x^2)$ が、$x=1$ および $x=2$ で極値をとり、$x=1$ での極値が $10\log 2$ であるとき、$a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ を係数とする関数 $f(x) = x^2 + ax + b + c \log(1+x^2)$ が、$x=1$ および $x=2$ で極値をとり、$x=1$ での極値が $10\log 2$ であるとき、$a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 2x + a + c \cdot \frac{2x}{1+x^2} = 2x + a + \frac{2cx}{1+x^2}$

$f(x)$ が $x=1$ と $x=2$ で極値をとるので、$f'(1) = 0$ かつ $f'(2) = 0$ である。

$f'(1) = 2(1) + a + \frac{2c(1)}{1+1^2} = 2 + a + c = 0$

$f'(2) = 2(2) + a + \frac{2c(2)}{1+2^2} = 4 + a + \frac{4c}{5} = 0$

これより、$a+c=-2$ および $a+\frac{4c}{5} = -4$ が得られる。

この2つの式から $a$ と $c$ の値を求める。

$a = -2 - c$ を $a+\frac{4c}{5} = -4$ に代入すると、

$-2 - c + \frac{4c}{5} = -4$

$-\frac{c}{5} = -2$

$c = 10$

$a = -2 - 10 = -12$

したがって、$a = -12$ および $c = 10$ である。

次に、$x=1$ での極値が $10\log 2$ であることから、$f(1) = 10\log 2$ となる。

$f(1) = 1^2 + a(1) + b + c \log(1+1^2) = 1 + a + b + c \log 2 = 1 - 12 + b + 10 \log 2 = 10 \log 2$

$-11 + b + 10 \log 2 = 10 \log 2$

$b = 11$

したがって、$b = 11$ である。

3. 最終的な答え

$a = -12$

$b = 11$

$c = 10$