与えられた関数 $f(x)$ のフーリエ級数を求める問題です。まず、フーリエ係数 $b_n$ を計算し、それを用いてフーリエ級数を表現します。与えられた式は、$\pi b_n$ を計算する過程とその結果、$b_n$ の値、そして最終的なフーリエ級数の形を示しています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ のフーリエ級数を求める問題です。まず、フーリエ係数 $b_n$ を計算し、それを用いてフーリエ級数を表現します。与えられた式は、$\pi b_n$ を計算する過程とその結果、$b_n$ の値、そして最終的なフーリエ級数の形を示しています。

2. 解き方の手順

(1) フーリエ係数 $b_n$ の計算:

与えられた式から、

$\pi b_n = \int_0^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

であり、特に $f(x) = (\pi - x)^2$ である場合を考えます。

与えられた計算過程を追うと、部分積分を2回用いて積分を計算しています。

まず、

$\int_0^{\pi} (\pi-x)^2 \sin(nx) dx = \left[ -(\pi-x)^2 \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \frac{2(\pi-x)}{n} \cos(nx) dx$

$= \frac{\pi^2}{n} + \left[ \frac{2(\pi-x)}{n^2} \sin(nx) \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{2}{n^2} \sin(nx) dx$

$= \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n^3} \left[ \cos(nx) \right]_0^{\pi}$

$= \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n^3} (\cos(n\pi) - \cos(0))$

$= \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n^3} ((-1)^n - 1)$

したがって、

$\pi b_n = \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n^3}((-1)^n - 1)$

$b_n = \frac{\pi}{n} + \frac{2}{\pi n^3} ((-1)^n - 1)$

(2) フーリエ級数の構成:

与えられたフーリエ級数の式は、以下の通りです。

$f(x) = \frac{1}{6}\pi^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{n^2} \cos(nx) + \left( \frac{\pi}{n} + \frac{2}{\pi n^3} ((-1)^n - 1) \right) \sin(nx) \right)$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{1}{6}\pi^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{n^2} \cos(nx) + \left( \frac{\pi}{n} + \frac{2}{\pi n^3} ((-1)^n - 1) \right) \sin(nx) \right)$