関数 $g(x) = x^2 e^{-x^2}$ の $x \geq 0$ における最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = x^2 e^{-x^2}$ の $x \geq 0$ における最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$g(x)$ の導関数 $g'(x)$ を求めます。積の微分公式と合成関数の微分公式を用いると、

$g'(x) = 2x e^{-x^2} + x^2 (-2x) e^{-x^2} = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2} = 2x e^{-x^2} (1 - x^2)$

となります。

次に、$g'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$2x e^{-x^2} (1 - x^2) = 0$ より、$x=0$ または $1-x^2=0$、すなわち $x=\pm 1$ となります。

$x \geq 0$ なので、$x = 0, 1$ が候補となります。

$x=0$ のとき、$g(0) = 0^2 e^{-0^2} = 0$ となります。

$x=1$ のとき、$g(1) = 1^2 e^{-1^2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$ となります。

また、$x \to \infty$ のとき、$g(x) = x^2 e^{-x^2} = \frac{x^2}{e^{x^2}} \to 0$ となります。

よって、$x=1$ のときに最大値を取ることがわかります。

3. 最終的な答え

最大値は $\frac{1}{e}$