与えられた広義積分が収束するかどうかを証明する必要があります。 (1) $\int_{1}^{\infty} e^{-2x} dx$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

1. 問題の内容

与えられた広義積分が収束するかどうかを証明する必要があります。

(1) $\int_{1}^{\infty} e^{-2x} dx$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{\infty} e^{-2x} dx$ の場合:

まず不定積分を計算します。

$\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C$

次に、広義積分の定義に従って極限を計算します。

$\int_{1}^{\infty} e^{-2x} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} e^{-2x} dx$

$= \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{1}^{b}$

$= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{2} e^{-2b} + \frac{1}{2} e^{-2} \right)$

$b \to \infty$ のとき、$e^{-2b} \to 0$ なので、

$\int_{1}^{\infty} e^{-2x} dx = \frac{1}{2} e^{-2}$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ の場合:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x) + C$

広義積分の定義に従って極限を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \lim_{b \to 1^-} \int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

$= \lim_{b \to 1^-} \left[ \arcsin(x) \right]_{0}^{b}$

$= \lim_{b \to 1^-} \left( \arcsin(b) - \arcsin(0) \right)$

$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$、$\arcsin(0) = 0$ なので、

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{1}^{\infty} e^{-2x} dx = \frac{1}{2} e^{-2}$ (収束する)

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2}$ (収束する)