与えられた関数 $z = f(x, y)$ の、指定された点における接平面の方程式を求める問題です。具体的には、 (1) $z = x^2 + y^2$ の点 $(1, 1, 2)$ における接平面 (2) $z = x^2 - y^2$ の点 $(2, 1, 3)$ における接平面 をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $z = f(x, y)$ の、指定された点における接平面の方程式を求める問題です。具体的には、

(1) $z = x^2 + y^2$ の点 $(1, 1, 2)$ における接平面

(2) $z = x^2 - y^2$ の点 $(2, 1, 3)$ における接平面

をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、点 $(x_0, y_0, z_0)$ において、次のように表されます。

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$f_x$ は $f$ の $x$ に関する偏微分、$f_y$ は $f$ の $y$ に関する偏微分を表します。

(1) $z = x^2 + y^2$ の場合

まず、偏微分を計算します。

$f_x = 2x$

$f_y = 2y$

点 $(1, 1)$ における偏微分の値は、

$f_x(1, 1) = 2(1) = 2$

$f_y(1, 1) = 2(1) = 2$

したがって、接平面の方程式は、

$z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1)$

$z - 2 = 2x - 2 + 2y - 2$

$z = 2x + 2y - 2$

(2) $z = x^2 - y^2$ の場合

まず、偏微分を計算します。

$f_x = 2x$

$f_y = -2y$

点 $(2, 1)$ における偏微分の値は、

$f_x(2, 1) = 2(2) = 4$

$f_y(2, 1) = -2(1) = -2$

したがって、接平面の方程式は、

$z - 3 = 4(x - 2) + (-2)(y - 1)$

$z - 3 = 4x - 8 - 2y + 2$

$z = 4x - 2y - 3$

3. 最終的な答え

(1) $z = 2x + 2y - 2$

(2) $z = 4x - 2y - 3$