3つの定積分を計算する問題です。 1つ目は、$u=x-2$ と変数変換した後の定積分を計算します。 2つ目は、$\int_0^3 xe^{-x}dx$ を部分積分を用いて計算します。 3つ目は、$\int_0^{\frac{\pi}{6}} x\cos(3x)dx$ を部分積分を用いて計算します。

1. 問題の内容

3つの定積分を計算する問題です。

1つ目は、$u=x-2$ と変数変換した後の定積分を計算します。

2つ目は、$\int_0^3 xe^{-x}dx$ を部分積分を用いて計算します。

3つ目は、$\int_0^{\frac{\pi}{6}} x\cos(3x)dx$ を部分積分を用いて計算します。

2. 解き方の手順

1. $u=x-2$ と置き換える問題

$x = u+2$ より $x-3 = u+2-3 = u-1$。また、$dx = du$。

$x=2$ のとき $u=0$、 $x=3$ のとき $u=1$。

したがって、

$\int_2^3 (x-2)^7 (x-3)dx = \int_0^1 u^7 (u-1) du = \int_0^1 (u^8 - u^7) du$

$= [\frac{1}{9}u^9 - \frac{1}{8}u^8]_0^1 = \frac{1}{9} - \frac{1}{8} = \frac{8-9}{72} = -\frac{1}{72}$

2. 部分積分する問題

$\int_0^3 xe^{-x}dx$ を計算します。

$u = x$, $dv = e^{-x}dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$。

部分積分より、

$\int_0^3 xe^{-x}dx = [-xe^{-x}]_0^3 - \int_0^3 -e^{-x}dx = [-xe^{-x}]_0^3 + \int_0^3 e^{-x}dx$

$= -3e^{-3} + [-e^{-x}]_0^3 = -3e^{-3} - e^{-3} + e^0 = 1 - 4e^{-3} = 1 - \frac{4}{e^3}$

3. 部分積分する問題

$\int_0^{\frac{\pi}{6}} x\cos(3x)dx$ を計算します。

$u=x$, $dv=\cos(3x)dx$ とすると、$du=dx$, $v = \frac{1}{3}\sin(3x)$。

部分積分より、

$\int_0^{\frac{\pi}{6}} x\cos(3x)dx = [\frac{1}{3}x\sin(3x)]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3}\sin(3x)dx$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi}{2}) - 0 - \frac{1}{3} [-\frac{1}{3}\cos(3x)]_0^{\frac{\pi}{6}}$

$= \frac{\pi}{18} + \frac{1}{9} [\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0)] = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{9} [0-1] = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{9} = \frac{\pi - 2}{18}$

3. 最終的な答え

1. 問1：0, 問2：1, 問3：-1, 問4：7, 問5：2

2. 問6：1, 問7：4, 問8：3

3. 問9：π-2, 問10：18