$(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = x + 2 + \frac{1}{x}$

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1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。具体的には以下の5つの問題を解きます。

(7) 不定積分 $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$ を求めよ。

(8) 不定積分 $\int x^2 (x^3-4)^5 dx$ を求めよ。

(9) 不定積分 $\int \frac{\sin x}{\cos^4 x} dx$ を求めよ。

(10) 定積分 $\int_{e}^{e^2} x \log x dx$ を求めよ。

(12) 定積分 $\int_{1}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx$ を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(7) 不定積分 $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$**

1. 被積分関数を展開します。

$(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = x + 2 + \frac{1}{x}$

2. 積分を実行します。

$\int (x + 2 + \frac{1}{x}) dx = \frac{x^2}{2} + 2x + \log |x| + C$

**(8) 不定積分 $\int x^2 (x^3-4)^5 dx$**

1. 置換積分を行います。$u = x^3 - 4$ と置くと、$du = 3x^2 dx$ となります。

2. 積分を実行します。

$\int x^2 (x^3-4)^5 dx = \int \frac{1}{3} u^5 du = \frac{1}{3} \frac{u^6}{6} + C = \frac{1}{18} u^6 + C$

3. $u$ を $x$ に戻します。

$\frac{1}{18} (x^3 - 4)^6 + C$

**(9) 不定積分 $\int \frac{\sin x}{\cos^4 x} dx$**

1. 置換積分を行います。$u = \cos x$ と置くと、$du = -\sin x dx$ となります。

2. 積分を実行します。

$\int \frac{\sin x}{\cos^4 x} dx = \int \frac{-1}{u^4} du = \int -u^{-4} du = \frac{u^{-3}}{3} + C = \frac{1}{3u^3} + C$

3. $u$ を $x$ に戻します。

$\frac{1}{3\cos^3 x} + C$

**(10) 定積分 $\int_{e}^{e^2} x \log x dx$**

1. 部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x dx$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

2. 定積分を計算します。

$\int_{e}^{e^2} x \log x dx = [\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}]_{e}^{e^2} = (\frac{e^4}{2} \log e^2 - \frac{e^4}{4}) - (\frac{e^2}{2} \log e - \frac{e^2}{4}) = (e^4 - \frac{e^4}{4}) - (\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}) = \frac{3e^4}{4} - \frac{e^2}{4} = \frac{3e^4 - e^2}{4}$

**(12) 定積分 $\int_{1}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx$**

1. $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ という公式を利用します。 この場合、$a = \sqrt{3}$ なので、$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$ となります。

2. 定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx = [\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}})]_{1}^{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{3}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\sqrt{3}) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{18}$

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3. 最終的な答え

(7) $\frac{x^2}{2} + 2x + \log |x| + C$

(8) $\frac{1}{18} (x^3 - 4)^6 + C$

(9) $\frac{1}{3\cos^3 x} + C$

(10) $\frac{3e^4 - e^2}{4}$

(12) $\frac{\pi\sqrt{3}}{18}$