関数 $y = e^{\frac{1}{x^2-1}}$ のグラフの概形を $-1 < x < 1$ の範囲で描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\frac{1}{x^2-1}}$ のグラフの概形を $-1 < x < 1$ の範囲で描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \frac{1}{x^2-1}$ について調べます。

* **定義域**: $-1<x<1$

* **対称性**: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2-1} = \frac{1}{x^2-1} = f(x)$ なので、$f(x)$は偶関数です。したがって、$y = e^{f(x)}$ も偶関数です。グラフはy軸に関して対称です。

* **極値**:

$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}$ なので、$f'(x) = 0$ となるのは $x=0$ のときです。

$x = 0$ のとき、$f(0) = -1$ となり、$y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

* **増減**:

$-1<x<0$ のとき、$f'(x)>0$なので、$f(x)$は増加します。

$0<x<1$ のとき、$f'(x)<0$なので、$f(x)$は減少します。

$y' = e^{\frac{1}{x^2-1}} \cdot \frac{-2x}{(x^2-1)^2}$なので、$y'=0$となるのは$x=0$の時のみ。

$x = 0$ で極大値 $y = e^{-1} = 1/e$ をとる。

* **漸近線**:

$x \to 1^-$ のとき、$x^2 - 1 \to 0^-$ なので、$\frac{1}{x^2-1} \to -\infty$。したがって、$y = e^{\frac{1}{x^2-1}} \to 0$

同様に、$x \to -1^+$ のとき、$y \to 0$

$x \to 1$ および $x \to -1$ のとき、$y$ は 0 に近づく。

* **グラフの概形**:

y軸に関して対称で、x=0で極大値 $1/e$をとり、xが1または-1に近づくとyは0に近づく。

3. 最終的な答え

グラフの概形は、y軸に関して対称な山のような形になります。$x=0$で極大値$1/e$をとり、$x \to \pm 1$ で $y \to 0$ となります。