与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' - 5y' = 10$ の一般解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' - 5y' = 10$ の一般解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y'' - 5y' = 0$ の解を求めます。次に、非同次方程式の特殊解を求めます。最後に、これらの解を足し合わせて一般解を求めます。

(1) 同次方程式 $y'' - 5y' = 0$ の特性方程式は $r^2 - 5r = 0$ です。

この方程式を解くと、$r(r-5) = 0$ より、$r = 0, 5$ が得られます。したがって、同次方程式の一般解は

$y_h(x) = c_1 e^{0x} + c_2 e^{5x} = c_1 + c_2 e^{5x}$

となります ($c_1$, $c_2$ は任意定数)。

(2) 非同次方程式 $y'' - 5y' = 10$ の特殊解を求めます。右辺が定数であるため、$y_p(x) = Ax$ (Aは定数)という形の解を仮定します。

このとき、$y_p'(x) = A$、$y_p''(x) = 0$ となります。

これらを元の微分方程式に代入すると、

$0 - 5A = 10$

$A = -2$

したがって、特殊解は $y_p(x) = -2x$ となります。

(3) 一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和として与えられます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 + c_2 e^{5x} - 2x$

3. 最終的な答え

一般解は $y(x) = c_1 + c_2 e^{5x} - 2x$ （$c_1, c_2$は任意定数）です。