広義積分の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの積分を計算します。 (1) $\int_{-\infty}^{\log 2} \frac{dx}{e^x + 4e^{-x}}$ (2) $\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x(\log x)^2}$

1. 問題の内容

広義積分の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの積分を計算します。

(1) $\int_{-\infty}^{\log 2} \frac{dx}{e^x + 4e^{-x}}$

(2) $\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x(\log x)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-\infty}^{\log 2} \frac{dx}{e^x + 4e^{-x}}$ の計算

まず、積分を整理します。分母分子に $e^x$ をかけると、

$$\int_{-\infty}^{\log 2} \frac{e^x}{e^{2x} + 4} dx$$

ここで、$u = e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。また、$x = -\infty$ のとき $u = 0$、$x = \log 2$ のとき $u = e^{\log 2} = 2$ となります。したがって、積分は

$$\int_{0}^{2} \frac{du}{u^2 + 4}$$

となります。これは $\frac{1}{2} \arctan(\frac{u}{2})$ の積分なので、

$$\left[ \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{u}{2}\right) \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \arctan(1) - \frac{1}{2} \arctan(0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{8}$$

(2) $\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x(\log x)^2}$ の計算

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。また、$x = 2$ のとき $u = \log 2$、$x = \infty$ のとき $u = \infty$ となります。したがって、積分は

$$\int_{\log 2}^{\infty} \frac{du}{u^2}$$

となります。これは $-\frac{1}{u}$ の積分なので、

$$\left[ -\frac{1}{u} \right]_{\log 2}^{\infty} = \lim_{u \to \infty} \left( -\frac{1}{u} \right) - \left( -\frac{1}{\log 2} \right) = 0 + \frac{1}{\log 2} = \frac{1}{\log 2}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{8}$

(2) $\frac{1}{\log 2}$