与えられた関数 $f(x)$ の極値を求め、その極値をとる $x$ の値を求める。ここでは、3つの関数が与えられており、それぞれについて極値を求める必要がある。 (1) $f(x) = \sqrt{3} \arctan x - 2 \arctan \frac{x}{\sqrt{3}}$ (2) $f(x) = \sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}$ (3) $f(x) = (x(x-1))^{2/3}(2-x)$

解析学極値導関数増減表微分
2025/7/16

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x)f(x) の極値を求め、その極値をとる xx の値を求める。ここでは、3つの関数が与えられており、それぞれについて極値を求める必要がある。
(1) f(x)=3arctanx2arctanx3f(x) = \sqrt{3} \arctan x - 2 \arctan \frac{x}{\sqrt{3}}
(2) f(x)=(x1)(x2)23f(x) = \sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}
(3) f(x)=(x(x1))2/3(2x)f(x) = (x(x-1))^{2/3}(2-x)

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求める。
(1) f(x)=3arctanx2arctanx3f(x) = \sqrt{3} \arctan x - 2 \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} の場合:
- まず、導関数 f(x)f'(x) を求める。
f(x)=31+x22311+(x3)2=31+x22333+x2=31+x2233+x2=3(11+x223+x2)f'(x) = \frac{\sqrt{3}}{1+x^2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{1}{1+(\frac{x}{\sqrt{3}})^2} = \frac{\sqrt{3}}{1+x^2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{3}{3+x^2} = \frac{\sqrt{3}}{1+x^2} - \frac{2\sqrt{3}}{3+x^2} = \sqrt{3}(\frac{1}{1+x^2} - \frac{2}{3+x^2})
- f(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求める。
11+x2=23+x2\frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{3+x^2}
3+x2=2(1+x2)3+x^2 = 2(1+x^2)
3+x2=2+2x23+x^2 = 2+2x^2
x2=1x^2 = 1
x=±1x = \pm 1
- x=1x = 1x=1x = -1 の前後で f(x)f'(x) の符号が変化するか確認する。
x=1x = -1 のとき,f(1)=3arctan(1)2arctan(13)=3(π4)2(π6)=3π4+π3=(433)π12f(-1) = \sqrt{3} \arctan(-1) - 2 \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3} (-\frac{\pi}{4}) - 2 (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{(4-3\sqrt{3})\pi}{12}
x=1x = 1 のとき,f(1)=3arctan(1)2arctan(13)=3(π4)2(π6)=3π4π3=(334)π12f(1) = \sqrt{3} \arctan(1) - 2 \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3} (\frac{\pi}{4}) - 2 (\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{(3\sqrt{3}-4)\pi}{12}
- 増減表を作成し、極値を判定する。
f(0)=3(123)=33>0f'(0) = \sqrt{3} (1 - \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} > 0
f(2)=3(1527)=3(71035)=3335<0f'(2) = \sqrt{3} (\frac{1}{5} - \frac{2}{7}) = \sqrt{3} (\frac{7-10}{35}) = -\frac{3\sqrt{3}}{35} < 0
したがって、x=1x = -1 で極小値、x=1x = 1 で極大値をとる。
(2) f(x)=(x1)(x2)23f(x) = \sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2} の場合:
- f(x)=((x1)(x2)2)1/3f(x) = ((x-1)(x-2)^2)^{1/3}
- f(x)=13((x1)(x2)2)2/3((x2)2+(x1)2(x2))=13((x1)(x2)2)2/3(x2)(x2+2x2)=13((x1)(x2)2)2/3(x2)(3x4)f'(x) = \frac{1}{3}((x-1)(x-2)^2)^{-2/3} ((x-2)^2 + (x-1)2(x-2)) = \frac{1}{3}((x-1)(x-2)^2)^{-2/3}(x-2)(x-2+2x-2) = \frac{1}{3}((x-1)(x-2)^2)^{-2/3}(x-2)(3x-4)
- f(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求める。
x=2x = 2 または x=43x = \frac{4}{3}
また、f(x)f'(x)x=1x = 1 または x=2x = 2 で定義されない。
- x=1,43,2x = 1, \frac{4}{3}, 2 の前後で f(x)f'(x) の符号が変化するか確認する。
x=1x=1のとき、f(1)=0f(1) = 0.
x=4/3x=4/3のとき、f(4/3)=(1/3)(2/3)23=4/27×1/33=4813f(4/3) = \sqrt[3]{(1/3)(-2/3)^2} = \sqrt[3]{4/27 \times 1/3} = \sqrt[3]{\frac{4}{81}}
x=2x=2のとき、f(2)=0f(2) = 0.
f(x)f'(x) の符号を調べる。
x<1x < 1 のとき,f(x)<0f'(x) < 0
1<x<4/31 < x < 4/3 のとき,f(x)>0f'(x) > 0
4/3<x<24/3 < x < 2 のとき,f(x)<0f'(x) < 0
x>2x > 2 のとき,f(x)>0f'(x) > 0
よって、x=1x = 1 で極小値 00, x=43x = \frac{4}{3} で極大値 4813\sqrt[3]{\frac{4}{81}}, x=2x = 2 で極小値 00 をとる。
(3) f(x)=(x(x1))2/3(2x)f(x) = (x(x-1))^{2/3}(2-x) の場合:
- f(x)=(x2x)2/3(2x)f(x) = (x^2-x)^{2/3}(2-x)
- f(x)=23(x2x)1/3(2x1)(2x)+(x2x)2/3(1)=(x2x)1/3[23(2x1)(2x)(x2x)]=(x2x)1/3[23(4x2x22+x)x2+x]=(x2x)1/3[23(2x2+5x2)x2+x]=(x2x)1/3[43x2+103x43x2+x]=(x2x)1/3[73x2+133x43]=13(x2x)1/3[7x213x+4]=13(x2x)1/3(7x4)(x1)f'(x) = \frac{2}{3} (x^2-x)^{-1/3} (2x-1) (2-x) + (x^2-x)^{2/3} (-1) = (x^2-x)^{-1/3} [\frac{2}{3} (2x-1)(2-x) - (x^2-x)] = (x^2-x)^{-1/3} [\frac{2}{3} (4x-2x^2-2+x) - x^2+x] = (x^2-x)^{-1/3} [\frac{2}{3} (-2x^2+5x-2) - x^2+x] = (x^2-x)^{-1/3} [-\frac{4}{3}x^2 + \frac{10}{3}x - \frac{4}{3} - x^2 + x] = (x^2-x)^{-1/3} [-\frac{7}{3}x^2 + \frac{13}{3}x - \frac{4}{3}] = -\frac{1}{3} (x^2-x)^{-1/3} [7x^2 - 13x + 4] = -\frac{1}{3} (x^2-x)^{-1/3} (7x-4)(x-1)
- f(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求める。
x=1,x=47x = 1, x = \frac{4}{7}
また、f(x)f'(x)x=0x = 0 または x=1x = 1 で定義されない。
f(0)=0,f(1)=0,f(47)=(164947)2/3(247)=(162849)2/3(107)=(1249)2/3(107)f(0) = 0, f(1) = 0, f(\frac{4}{7}) = (\frac{16}{49}-\frac{4}{7})^{2/3}(2-\frac{4}{7}) = (\frac{16-28}{49})^{2/3} (\frac{10}{7}) = (-\frac{12}{49})^{2/3} (\frac{10}{7}) これは複素数になるので,x=47x = \frac{4}{7} は適さない。
f(x)f'(x) の符号を調べる。x=0,1x=0,1で定義されないが、この付近での符号を考える。
x<0x<0f(x)f'(x)の符号を考える: (x2x)>0(x^2-x)>0かつ(7x4)<0(7x-4)<0かつ(x1)<0(x-1)<0なので、f(x)<0f'(x)<0
0<x<4/70<x<4/7f(x)f'(x)の符号を考える: (x2x)<0(x^2-x)<0かつ(7x4)<0(7x-4)<0かつ(x1)<0(x-1)<0なので、f(x)>0f'(x)>0
4/7<x<14/7<x<1f(x)f'(x)の符号を考える: (x2x)<0(x^2-x)<0かつ(7x4)>0(7x-4)>0かつ(x1)<0(x-1)<0なので、f(x)<0f'(x)<0
x>1x>1f(x)f'(x)の符号を考える: (x2x)>0(x^2-x)>0かつ(7x4)>0(7x-4)>0かつ(x1)>0(x-1)>0なので、f(x)<0f'(x)<0

3. 最終的な答え

(1) x=1x = -1 で極小値 (433)π12\frac{(4-3\sqrt{3})\pi}{12}x=1x = 1 で極大値 (334)π12\frac{(3\sqrt{3}-4)\pi}{12}
(2) x=1x = 1 で極小値 00, x=43x = \frac{4}{3} で極大値 4813\sqrt[3]{\frac{4}{81}}, x=2x = 2 で極小値 00
(3) x=0x=0 で極小値 00.
x=1x=1 で極大値 00.

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