与えられた関数 $f(x)$ の極値を求め、その極値をとる $x$ の値を求める。ここでは、3つの関数が与えられており、それぞれについて極値を求める必要がある。 (1) $f(x) = \sqrt{3} \arctan x - 2 \arctan \frac{x}{\sqrt{3}}$ (2) $f(x) = \sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}$ (3) $f(x) = (x(x-1))^{2/3}(2-x)$
2025/7/16
1. 問題の内容
与えられた関数 の極値を求め、その極値をとる の値を求める。ここでは、3つの関数が与えられており、それぞれについて極値を求める必要がある。
(1)
(2)
(3)
2. 解き方の手順
各関数について、以下の手順で極値を求める。
(1) の場合:
- まず、導関数 を求める。
- となる を求める。
- と の前後で の符号が変化するか確認する。
のとき,
のとき,
- 増減表を作成し、極値を判定する。
したがって、 で極小値、 で極大値をとる。
(2) の場合:
-
-
- となる を求める。
または
また、 は または で定義されない。
- の前後で の符号が変化するか確認する。
のとき、.
のとき、
のとき、.
の符号を調べる。
のとき,。
のとき,。
のとき,。
のとき,。
よって、 で極小値 , で極大値 , で極小値 をとる。
(3) の場合:
-
-
- となる を求める。
また、 は または で定義されない。
これは複素数になるので, は適さない。
の符号を調べる。で定義されないが、この付近での符号を考える。
での符号を考える: かつかつなので、
での符号を考える: かつかつなので、
での符号を考える: かつかつなので、
での符号を考える: かつかつなので、
3. 最終的な答え
(1) で極小値 、 で極大値 。
(2) で極小値 , で極大値 , で極小値 。
(3) で極小値 .
で極大値 .