## 問題の回答

## 問題の回答

以下に、画像にある6つの不定積分の問題を解きます。

### (1) 問題の内容

$\int \frac{x^2 - 4x + 1}{x^3} dx$ を計算します。

### (1) 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int \frac{x^2 - 4x + 1}{x^3} dx = \int (\frac{x^2}{x^3} - \frac{4x}{x^3} + \frac{1}{x^3}) dx$

$= \int (\frac{1}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}) dx$

$= \int (x^{-1} - 4x^{-2} + x^{-3}) dx$

各項を積分します。

$\int x^{-1} dx = \ln|x|$

$\int -4x^{-2} dx = -4\frac{x^{-1}}{-1} = 4x^{-1} = \frac{4}{x}$

$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$

よって、積分は次のようになります。

$\ln|x| + \frac{4}{x} - \frac{1}{2x^2} + C$

### (1) 最終的な答え

$\ln|x| + \frac{4}{x} - \frac{1}{2x^2} + C$

### (2) 問題の内容

$\int \frac{(x^2-2)(x^2-3)}{x^4} dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$(x^2-2)(x^2-3) = x^4 - 5x^2 + 6$

積分は次のようになります。

$\int \frac{x^4 - 5x^2 + 6}{x^4} dx = \int (1 - \frac{5}{x^2} + \frac{6}{x^4}) dx$

$= \int (1 - 5x^{-2} + 6x^{-4}) dx$

各項を積分します。

$\int 1 dx = x$

$\int -5x^{-2} dx = -5\frac{x^{-1}}{-1} = 5x^{-1} = \frac{5}{x}$

$\int 6x^{-4} dx = 6\frac{x^{-3}}{-3} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

よって、積分は次のようになります。

$x + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3} + C$

### (2) 最終的な答え

$x + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3} + C$

### (3) 問題の内容

$\int \frac{x+2}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

### (3) 解き方の手順

積分を分解します。

$\int \frac{x+2}{\sqrt{x}} dx = \int (\frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}}) dx$

$= \int (x^{1/2} + 2x^{-1/2}) dx$

各項を積分します。

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

$\int 2x^{-1/2} dx = 2\frac{x^{1/2}}{1/2} = 4x^{1/2}$

よって、積分は次のようになります。

$\frac{2}{3}x^{3/2} + 4x^{1/2} + C$

### (3) 最終的な答え

$\frac{2}{3}x^{3/2} + 4x^{1/2} + C$

### (4) 問題の内容

$\int \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{x} dx$ を計算します。

### (4) 解き方の手順

分子を展開します。

$(\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1$

積分は次のようになります。

$\int \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x} dx = \int (1 - \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}) dx$

$= \int (1 - 2x^{-1/2} + \frac{1}{x}) dx$

各項を積分します。

$\int 1 dx = x$

$\int -2x^{-1/2} dx = -2\frac{x^{1/2}}{1/2} = -4x^{1/2} = -4\sqrt{x}$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$

よって、積分は次のようになります。

$x - 4\sqrt{x} + \ln|x| + C$

### (4) 最終的な答え

$x - 4\sqrt{x} + \ln|x| + C$

### (5) 問題の内容

$\int \frac{1-y-y^2}{y^2} dy$ を計算します。

### (5) 解き方の手順

積分を分解します。

$\int \frac{1-y-y^2}{y^2} dy = \int (\frac{1}{y^2} - \frac{y}{y^2} - \frac{y^2}{y^2}) dy$

$= \int (y^{-2} - \frac{1}{y} - 1) dy$

各項を積分します。

$\int y^{-2} dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -\frac{1}{y}$

$\int -\frac{1}{y} dy = -\ln|y|$

$\int -1 dy = -y$

よって、積分は次のようになります。

$-\frac{1}{y} - \ln|y| - y + C$

### (5) 最終的な答え

$-\frac{1}{y} - \ln|y| - y + C$

### (6) 問題の内容

$\int (3t^2 - \frac{1}{t})^2 dt$ を計算します。

### (6) 解き方の手順

展開します。

$(3t^2 - \frac{1}{t})^2 = (3t^2)^2 - 2(3t^2)(\frac{1}{t}) + (\frac{1}{t})^2$

$= 9t^4 - 6t + \frac{1}{t^2}$

積分は次のようになります。

$\int (9t^4 - 6t + \frac{1}{t^2}) dt = \int (9t^4 - 6t + t^{-2}) dt$

各項を積分します。

$\int 9t^4 dt = 9\frac{t^5}{5} = \frac{9}{5}t^5$

$\int -6t dt = -6\frac{t^2}{2} = -3t^2$

$\int t^{-2} dt = \frac{t^{-1}}{-1} = -\frac{1}{t}$

よって、積分は次のようになります。

$\frac{9}{5}t^5 - 3t^2 - \frac{1}{t} + C$

### (6) 最終的な答え

$\frac{9}{5}t^5 - 3t^2 - \frac{1}{t} + C$