以下の4つの関数の不定積分を求めます。 (1) $xe^x$ (2) $x\sin x$ (3) $\tan^{-1}x$ (4) $\log(x^2+1)$

1. 問題の内容

以下の4つの関数の不定積分を求めます。

(1) $xe^x$

(2) $x\sin x$

(3) $\tan^{-1}x$

(4) $\log(x^2+1)$

2. 解き方の手順

(1) $xe^x$ の不定積分

部分積分法を用います。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int xe^x dx = \int u dv = uv - \int v du = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

(2) $x\sin x$ の不定積分

部分積分法を用います。$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x\sin x dx = \int u dv = uv - \int v du = -x\cos x - \int (-\cos x) dx = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$

(3) $\tan^{-1}x$ の不定積分

部分積分法を用います。$u = \tan^{-1}x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となります。

$\int \tan^{-1}x dx = \int u dv = uv - \int v du = x\tan^{-1}x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$

$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。$w = 1+x^2$ とすると、$dw = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2}dw$ となります。

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} dw = \frac{1}{2} \int \frac{1}{w} dw = \frac{1}{2} \ln |w| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

したがって、$\int \tan^{-1}x dx = x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$

(4) $\log(x^2+1)$ の不定積分

部分積分法を用います。$u = \log(x^2+1)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{2x}{x^2+1} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log(x^2+1) dx = \int u dv = uv - \int v du = x\log(x^2+1) - \int \frac{2x^2}{x^2+1} dx$

$\int \frac{2x^2}{x^2+1} dx$ を計算します。$\frac{2x^2}{x^2+1} = \frac{2(x^2+1) - 2}{x^2+1} = 2 - \frac{2}{x^2+1}$

したがって、$\int \frac{2x^2}{x^2+1} dx = \int (2 - \frac{2}{x^2+1}) dx = 2x - 2\int \frac{1}{x^2+1} dx = 2x - 2\tan^{-1}x + C$

$\int \log(x^2+1) dx = x\log(x^2+1) - (2x - 2\tan^{-1}x) + C = x\log(x^2+1) - 2x + 2\tan^{-1}x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^x dx = xe^x - e^x + C$

(2) $\int x\sin x dx = -x\cos x + \sin x + C$

(3) $\int \tan^{-1}x dx = x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$

(4) $\int \log(x^2+1) dx = x\log(x^2+1) - 2x + 2\tan^{-1}x + C$