問題はフーリエ正弦級数の係数 $b_n$ を求めるものです。関数 $f(x)$ が与えられ、$f(x) = (\pi - x)^2$ であり、区間 $[0, \pi]$ で定義されています。 係数 $b_n$ は次の積分で与えられます。 $\pi b_n = \int_0^\pi f(x) \sin(nx) dx = \int_0^\pi (\pi - x)^2 \sin(nx) dx$ そして、積分を実行し、$b_n$ の式を求めることが目標です。

1. 問題の内容

問題はフーリエ正弦級数の係数 $b_n$ を求めるものです。関数 $f(x)$ が与えられ、$f(x) = (\pi - x)^2$ であり、区間 $[0, \pi]$ で定義されています。 係数 $b_n$ は次の積分で与えられます。

$\pi b_n = \int_0^\pi f(x) \sin(nx) dx = \int_0^\pi (\pi - x)^2 \sin(nx) dx$

そして、積分を実行し、$b_n$ の式を求めることが目標です。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を2回行います。

1回目の部分積分：

$u = (\pi - x)^2$, $dv = \sin(nx) dx$ とすると、

$du = -2(\pi - x) dx$, $v = -\frac{\cos(nx)}{n}$ となります。

$\int_0^\pi (\pi - x)^2 \sin(nx) dx = \left[ -(\pi - x)^2 \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi + \int_0^\pi \frac{2(\pi - x)}{n} \cos(nx) dx$

$= \left[ -(\pi - x)^2 \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi + \frac{2}{n} \int_0^\pi (\pi - x) \cos(nx) dx$

$= \left(0 - \left( -\pi^2 \frac{1}{n} \right) \right) + \frac{2}{n} \int_0^\pi (\pi - x) \cos(nx) dx$

$= \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n} \int_0^\pi (\pi - x) \cos(nx) dx$

2回目の部分積分：

$u = \pi - x$, $dv = \cos(nx) dx$ とすると、

$du = -dx$, $v = \frac{\sin(nx)}{n}$ となります。

$\int_0^\pi (\pi - x) \cos(nx) dx = \left[ (\pi - x) \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi + \int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n} dx$

$= (0 - 0) + \frac{1}{n} \int_0^\pi \sin(nx) dx$

$= \frac{1}{n} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi$

$= -\frac{1}{n^2} (\cos(n\pi) - \cos(0))$

$= -\frac{1}{n^2} ((-1)^n - 1)$

したがって、

$\int_0^\pi (\pi - x)^2 \sin(nx) dx = \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n} \left( -\frac{1}{n^2} ((-1)^n - 1) \right)$

$\pi b_n = \frac{\pi^2}{n} - \frac{2}{n^3} ((-1)^n - 1)$

$b_n = \frac{\pi}{n} - \frac{2}{\pi n^3} ((-1)^n - 1)$

$b_n = \frac{\pi}{n} + \frac{2}{\pi n^3} (1 - (-1)^n)$

3. 最終的な答え

$b_n = \frac{\pi}{n} + \frac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n^3}$