与えられた定積分 $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1}{1-x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1}{1-x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を簡単にするために、$u = 1 - x$ と変数変換します。すると、$du = -dx$ となり、$dx = -du$ となります。

積分範囲も変換する必要があります。

$x=0$ のとき、$u = 1 - 0 = 1$

$x=1$ のとき、$u = 1 - 1 = 0$

したがって、積分は次のようになります。

$I = \int_1^0 \sqrt{\frac{1}{u}} (-du)$

積分範囲を反転させると、符号が変わるので、

$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{u}} du$

これは次のように書き換えることができます。

$I = \int_0^1 u^{-\frac{1}{2}} du$

積分を実行します。

$I = \left[ \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_0^1$

$I = \left[ 2\sqrt{u} \right]_0^1$

$u$ に積分範囲の値を代入します。

$I = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{0}$

$I = 2(1) - 2(0)$

$I = 2$

3. 最終的な答え

$I = 2$