与えられた数列 $ \{a_n\} $, $ \{b_n\} $, $ \{c_n\} $, $ \{d_n\} $, $ \{t_n\} $, $ \{u_n\} $ に対して、以下の値をそれぞれ求めます。ただし、$ \{u_n\} $ は第$ m $群が $ m^3 $ 個の項を含むように区分されています。 (1) $ \sum_{k=1}^n a_k b_k $ (2) $ \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k} $ (3) $ \sum_{k=1}^n t_k $ (4) $ \sum_{k=1}^n a_k d_k $ (5) $ \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k c_k} $ (6) $ \sum_{k=1}^n k^2 d_k $ (7) $ \frac{\sum_{k=1}^{2025} u_k}{\sum_{k=1}^{9} k^3} $

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$, $\{d_n\}$, $\{t_n\}$, $\{u_n\}$ に対して、以下の値をそれぞれ求めます。ただし、$\{u_n\}$ は第$m$群が $m^3$ 個の項を含むように区分されています。

(1) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$

(2) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k}$

(3) $\sum_{k=1}^n t_k$

(4) $\sum_{k=1}^n a_k d_k$

(5) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k c_k}$

(6) $\sum_{k=1}^n k^2 d_k$

(7) $\frac{\sum_{k=1}^{2025} u_k}{\sum_{k=1}^{9} k^3}$

2. 解き方の手順

まず、各数列の一般項を求めます。

$\{a_n\}$: 等差数列、初項1、公差2。よって、$a_k = 1 + (k-1)2 = 2k - 1$。

$\{b_n\}$: 等差数列、初項3、公差2。よって、$b_k = 3 + (k-1)2 = 2k + 1$。

$\{c_n\}$: 等差数列、初項5、公差2。よって、$c_k = 5 + (k-1)2 = 2k + 3$。

$\{d_n\}$: 等比数列、初項2、公比2。よって、$d_k = 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k$。

$\{t_n\}$: $t_1 = 2, t_2 = 6, t_3 = 14, t_4 = 26, t_5 = 42, t_6 = 62, ...$

階差数列を考えると、$4, 8, 12, 16, 20, ...$となり、これは初項4、公差4の等差数列である。

よって、階差数列の一般項は $4k$ と表せる。

したがって、$t_k = 2 + \sum_{i=1}^{k-1} 4i = 2 + 4 \cdot \frac{(k-1)k}{2} = 2 + 2(k^2 - k) = 2k^2 - 2k + 2$。

$\{u_n\}$: 群数列であり、第$m$群は $m^3$ 個の項を含む。各群の項は等差数列をなしており、公差は2。第$m$群の初項は2。

第$m$群の最後の項は $2 + (m^3 - 1)2 = 2m^3$。

(1) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n (2k-1)(2k+1) = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 1) = 4 \sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n = \frac{n}{3} [2(n+1)(2n+1) - 3] = \frac{n(4n^2+6n+2-3)}{3} = \frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2} [ (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + ... + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) ] = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2} (\frac{2n+1-1}{2n+1}) = \frac{n}{2n+1}$

(3) $\sum_{k=1}^n t_k = \sum_{k=1}^n (2k^2 - 2k + 2) = 2 \sum_{k=1}^n k^2 - 2 \sum_{k=1}^n k + 2 \sum_{k=1}^n 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 2n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - n(n+1) + 2n = \frac{n}{3} [ (n+1)(2n+1) - 3(n+1) + 6 ] = \frac{n}{3} [ 2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 + 6 ] = \frac{n(2n^2+4)}{3} = \frac{2n(n^2+2)}{3}$

(4) $\sum_{k=1}^n a_k d_k = \sum_{k=1}^n (2k-1) 2^k = \sum_{k=1}^n 2k \cdot 2^k - \sum_{k=1}^n 2^k = 2 \sum_{k=1}^n k 2^k - \sum_{k=1}^n 2^k$

$S = \sum_{k=1}^n k 2^k = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + n \cdot 2^n$

$2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + ... + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1}$

$S - 2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n - n \cdot 2^{n+1}$

$-S = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} - n \cdot 2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1}$

$S = (n-1) 2^{n+1} + 2$

$\sum_{k=1}^n 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2^{n+1} - 2$

$\sum_{k=1}^n a_k d_k = 2 [ (n-1) 2^{n+1} + 2 ] - (2^{n+1} - 2) = (2n-2) 2^{n+1} + 4 - 2^{n+1} + 2 = (2n-3) 2^{n+1} + 6$

(5) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k c_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{8} (\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} - \frac{1}{(2k+1)(2k+3)})$

$= \frac{1}{8} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}))$

$= \frac{1}{16} \sum_{k=1}^n ( \frac{1}{2k-1} - \frac{2}{2k+1} + \frac{1}{2k+3} )$

$= \frac{1}{16} ( (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7}) + ... + (\frac{1}{2n-1} - \frac{2}{2n+1} + \frac{1}{2n+3}) )$

$= \frac{1}{16} ( 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{16} ( \frac{2}{3} - \frac{2}{(2n+1)(2n+3)} ) = \frac{1}{24} - \frac{1}{8(2n+1)(2n+3)} = \frac{(2n+1)(2n+3)-3}{24(2n+1)(2n+3)} = \frac{4n^2+8n}{24(2n+1)(2n+3)} = \frac{n(n+2)}{6(2n+1)(2n+3)}$

(6) $\sum_{k=1}^n k^2 d_k = \sum_{k=1}^n k^2 2^k$

$S = \sum_{k=1}^n k^2 2^k = 1^2 2^1 + 2^2 2^2 + 3^2 2^3 + ... + n^2 2^n$

$2S = 1^2 2^2 + 2^2 2^3 + ... + (n-1)^2 2^n + n^2 2^{n+1}$

$-S = 2 + (2^2 - 1^2)2^2 + (3^2 - 2^2) 2^3 + ... + (n^2 - (n-1)^2) 2^n - n^2 2^{n+1}$

$= 2 + \sum_{k=2}^n (k^2 - (k-1)^2) 2^k - n^2 2^{n+1}$

$= 2 + \sum_{k=2}^n (2k-1) 2^k - n^2 2^{n+1} = 2 + 2 \sum_{k=2}^n k 2^k - \sum_{k=2}^n 2^k - n^2 2^{n+1}$

$= 2 + 2 [ (n-1) 2^{n+1} + 2 - 2] - (2^{n+1} - 2 - 2 ) - n^2 2^{n+1}$

$= 2 + 2 (n-1) 2^{n+1} - (2^{n+1} - 4) - n^2 2^{n+1} = 6 + (2n-3) 2^{n+1} - n^2 2^{n+1}$

$= 6 + (2n - 3 - n^2) 2^{n+1} = 6 - (n^2 - 2n + 3) 2^{n+1}$

$S = (n^2 - 2n + 3) 2^{n+1} - 6$

(7) $\frac{\sum_{k=1}^{2025} u_k}{\sum_{k=1}^{9} k^3}$

$\{u_n\}$は群数列で、第$m$群は $m^3$ 個の項を含む。$\sum_{m=1}^k m^3 = (\frac{k(k+1)}{2})^2$ なので、 $(\frac{k(k+1)}{2})^2 \leq 2025$ を満たす最大の $k$ を求める。

$\frac{k(k+1)}{2} \leq \sqrt{2025} = 45$

$k(k+1) \leq 90$

$k=9$のとき $k(k+1) = 9(10) = 90$ よって、k=9

したがって、2025項目までには9個の群が含まれる。

$\sum_{k=1}^{2025} u_k$ = $\sum_{m=1}^9$(第$m$群の和)

第$m$群は等差数列で、初項は2、末項は$2m^3$、項数は$m^3$である。よって、第$m$群の和は

$\frac{m^3(2+2m^3)}{2} = m^3(1+m^3) = m^3 + m^6$

$\sum_{k=1}^{2025} u_k = \sum_{m=1}^9 (m^3 + m^6) = \sum_{m=1}^9 m^3 + \sum_{m=1}^9 m^6$

$\sum_{m=1}^9 m^3 = (\frac{9(10)}{2})^2 = 45^2 = 2025$

$\sum_{m=1}^9 m^6 = 1^6+2^6+3^6+4^6+5^6+6^6+7^6+8^6+9^6=2751159$

$\sum_{k=1}^{2025} u_k = 2025 + 2751159 = 2753184$

$\sum_{k=1}^9 k^3 = (\frac{9(10)}{2})^2 = 2025$

よって、$\frac{\sum_{k=1}^{2025} u_k}{\sum_{k=1}^{9} k^3} = \frac{2753184}{2025} = \frac{917728}{675}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$

(2) $\frac{n}{2n+1}$

(3) $\frac{2n(n^2+2)}{3}$

(4) $(2n-3) 2^{n+1} + 6$

(5) $\frac{n(n+2)}{6(2n+1)(2n+3)}$

(6) $(n^2 - 2n + 3) 2^{n+1} - 6$

(7) $\frac{917728}{675}$