次の2つの不定積分を計算する問題です。 a) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx$ b) $\int \frac{1}{1 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を計算する問題です。

a) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx$

b) $\int \frac{1}{1 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

a)

$u = 1 + \sin x$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = \cos x$ となり、$du = \cos x dx$ となります。

よって、積分は

$\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |1 + \sin x| + C$

$1 + \sin x$ は常に正なので、絶対値を外すことができます。

$\ln (1 + \sin x) + C$

b)

$\int \frac{1}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

$\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ を用いて式を変形します。

$\int \frac{1}{1 + \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}} dx = \int \frac{1 + \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2) + 1 - \tan^2(x/2)} dx = \int \frac{1 + \tan^2(x/2)}{2} dx$

$1 + \tan^2(x/2) = \sec^2(x/2)$ なので、

$\frac{1}{2} \int \sec^2(x/2) dx$

$u = x/2$ と置換すると、$du = \frac{1}{2} dx$ となり、$dx = 2 du$ となります。

$\frac{1}{2} \int \sec^2(u) (2 du) = \int \sec^2(u) du = \tan u + C = \tan(x/2) + C$

3. 最終的な答え

a) $\ln(1 + \sin x) + C$

b) $\tan(x/2) + C$