定積分 $I = \int_{0}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{0}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^{-\frac{2}{3}}$ の不定積分を求めます。

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ただし、$n \neq -1$）を利用します。

この問題では、$n = -\frac{2}{3}$ なので、$n+1 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$ となります。

したがって、

$\int x^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3x^{\frac{1}{3}} + C$

次に、定積分を計算します。

$I = \int_{0}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx = \left[ 3x^{\frac{1}{3}} \right]_{0}^{1}$

$I = 3(1)^{\frac{1}{3}} - 3(0)^{\frac{1}{3}} = 3(1) - 3(0) = 3 - 0 = 3$

ただし、厳密には、$x = 0$ で被積分関数が定義されないため、広義積分として扱う必要があります。

$\lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left[ 3x^{\frac{1}{3}} \right]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon \to +0} (3(1)^{\frac{1}{3}} - 3(\epsilon)^{\frac{1}{3}}) = 3 - 0 = 3$

3. 最終的な答え

$I = 3$