関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問題を解きます。 (1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べてください。 (2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を書いてください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問題を解きます。

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べてください。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を書いてください。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = e^{-2x} + x(-2)e^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-2x}(1 - 2x) = 0$ より、 $1 - 2x = 0$ なので、$x = \frac{1}{2}$。

次に、$f(x)$ の2階導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = -2e^{-2x}(1 - 2x) + e^{-2x}(-2) = e^{-2x}(-2 + 4x - 2) = e^{-2x}(4x - 4) = 4e^{-2x}(x - 1)$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4e^{-2x}(x - 1) = 0$ より、$x - 1 = 0$ なので、$x = 1$。

増減表を作成します。

| x | $(-\infty, \frac{1}{2})$ | $\frac{1}{2}$ | $(\frac{1}{2}, 1)$ | 1 | $(1, \infty)$ |

|------|----------------------|--------------|-------------------|------|---------------|

| f'(x) | + | 0 | - | | - |

| f''(x)| - | | - | 0 | + |

| f(x) | 増加, 上に凸 | 極大 | 減少, 上に凸 | 変曲点| 減少, 下に凸 |

極大値は $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}e^{-2(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$。

変曲点は $(1, f(1)) = (1, e^{-2}) = (1, \frac{1}{e^2})$。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形をかく。

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}} = 0$ (ロピタルの定理より)

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{2x}} = -\infty$

グラフの概形は、$x \to \infty$ で $y \to 0$、$x \to -\infty$ で $y \to -\infty$ となることを考慮し、

$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$ をとり、$x = 1$ で変曲点 $(1, \frac{1}{e^2})$ を持つように書きます。

3. 最終的な答え

(1) 増減：$x < \frac{1}{2}$ で増加、$x > \frac{1}{2}$ で減少。

　　極値：$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$。

　　凹凸：$x < 1$ で上に凸、$x > 1$ で下に凸。

　　変曲点：$(1, \frac{1}{e^2})$

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$、 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

グラフの概形は省略（説明参照）。